Seja o espaço vetorial gerado pelos vetores . Encontre duas bases diferentes para , digamos, e , e forneça as matrizes e de mudança de base para para , respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial dentro de gerado pelos vetores e . O objetivo é encontrar duas bases diferentes para esse espaço , que a gente vai chamar de e . Além disso, precisamos encontrar as matrizes de mudança de base, ou seja, que transforma coordenadas de para e que faz o caminho inverso.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, bases, independência linear e mudança de base. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores e formam uma base para . Para isso, precisamos garantir que eles sejam linhormente (linearmente independentes).
Vamos montar uma combinação linear igual a zero:
Substituindo os vetores:
Isso nos dá o sistema:
Pelas duas primeiras equações, . Da terceira equação, , que simplifica para . Substituindo na primeira equação: , logo . Como a única solução é trivial, e são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .
Então, podemos definir nossa primeira base:
Passo 3
Agora, vamos construir uma segunda base diferente para . Para isso, podemos substituir um dos vetores por uma combinação linear diferente. Vamos tentar substituir por, por exemplo, .
Calculando :
Agora, vamos verificar se e são linearmente independentes.
Montando a combinação igual a zero:
Substituindo:
Sistema:
Da terceira equação, . Substituindo na primeira, . Portanto, são linearmente independentes.
Assim, a segunda base é:
Passo 4
Agora vamos determinar as matrizes de mudança de base entre e .
Primeiro, para encontrar , que muda coordenadas de para , precisamos expressar cada vetor de em termos da base .
Temos:
Sabemos que . Vamos resolver para :
Então, expressamos e em termos de :
Portanto, as coordenadas de em termos de são as colunas da matriz :
Passo 5
Para encontrar a matriz , que faz a mudança de para , precisamos expressar cada vetor de em termos da base .
Sabemos que:
Já que , podemos expressar:
As coordenadas de em termos de são então as colunas da matriz :