Seja U subset R^3 o espaço vetorial gerado pelos vetores u1=[lll1 & 1 & -1]^T e u2= lll1 & 1 & 1]^T. Encontre duas bases diferentes para U, digamos, B1 e B2, e forneça as matrizes T1,2 e T2,1 de mudança de base B1 para B2 e B2 para B1, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial U dentro de R^3 gerado pelos vetores u1 = 1 1 -1 e u2 = 1 1 1. O objetivo é encontrar duas bases diferentes para esse espaço U, que a gente vai chamar de B1 e B2. Além disso, precisamos encontrar as matrizes de mudança de base, ou seja, T1,2 que transforma coordenadas de B1 para B2 e T2,1 que faz o caminho inverso.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, bases, independência linear e mudança de base. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores u1 e u2 formam uma base para U. Para isso, precisamos garantir que eles sejam linhormente (linearmente independentes).
Vamos montar uma combinação linear igual a zero:
au1 + bu2 = 0
Substituindo os vetores:
a1 1 -1 + b1 1 1 = 0 0 0
Isso nos dá o sistema:
a + b = 0 a + b = 0 - a + b = 0
Pelas duas primeiras equações, a + b = 0. Da terceira equação, -a + b = 0, que simplifica para b = a. Substituindo na primeira equação: a + a = 0 Rightarrow 2a = 0 Rightarrow a = 0, logo b = 0. Como a única solução é trivial, u1 e u2 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para U.
Então, podemos definir nossa primeira base:
B1 = u1, u2

Passo 3

Agora, vamos construir uma segunda base diferente para U. Para isso, podemos substituir um dos vetores por uma combinação linear diferente. Vamos tentar substituir u2 por, por exemplo, u3 = u1 + u2.
Calculando u3:
u3 = u1 + u2 = 1 1 -1 + 1 1 1 = 2 2 0
Agora, vamos verificar se u1 e u3 são linearmente independentes.
Montando a combinação igual a zero:
au1 + bu3 = 0
Substituindo:
a1 1 -1 + b2 2 0 = 0 0 0
Sistema:
a + 2b = 0 a + 2b = 0 - a + 0b = 0
Da terceira equação, -a = 0 Rightarrow a = 0. Substituindo na primeira, 0 + 2b = 0 Rightarrow b = 0. Portanto, são linearmente independentes.
Assim, a segunda base é:
B2 = u1, u3

Passo 4

Agora vamos determinar as matrizes de mudança de base entre B1 e B2.
Primeiro, para encontrar T1,2, que muda coordenadas de B1 para B2, precisamos expressar cada vetor de B1 em termos da base B2.
Temos:
B1 = u1, u2 e B2 = u1, u3
Sabemos que u3 = u1 + u2. Vamos resolver para u2:
u2 = u3 - u1
Então, expressamos u1 e u2 em termos de B2:
u1 = 1 cdot u1 + 0 cdot u3 u2 = -1 cdot u1 + 1 cdot u3
Portanto, as coordenadas de B1 em termos de B2 são as colunas da matriz T1,2:
T1,2 = 1 & -1 0 & 1

Passo 5

Para encontrar a matriz T2,1, que faz a mudança de B2 para B1, precisamos expressar cada vetor de B2 em termos da base B1.
Sabemos que:
B2 = u1, u3 e B1 = u1, u2
Já que u3 = u1 + u2, podemos expressar:
u1 = 1 cdot u1 + 0 cdot u2 u3 = 1 cdot u1 + 1 cdot u2
As coordenadas de B2 em termos de B1 são então as colunas da matriz T2,1:
T2,1 = 1 & 1 0 & 1

Resposta

Duas bases diferentes para U são:
B1 = 1 1 -1, 1 1 1
B2 = 1 1 -1, 2 2 0
As matrizes de mudança de base são:
T1,2 = 1 & -1 0 & 1 e T2,1 = 1 & 1 0 & 1

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