Para cada par de vetores em , ponha . Prove que isto define um produto interno em .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem dois vetores no plano, e . Foi definido um jeito de multiplicar esses vetores, chamado de produto interno, dado por:
Nosso objetivo aqui é provar que essa operação realmente funciona como um produto interno em . Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas de um produto interno, que são:
  1. Simetria:
  2. Linearidade:
  3. Positividade: e se e somente se
Vamos verificar cada um desses passos para confirmar que é de fato um produto interno.

Passo 2

Simetria: A gente precisa ver se .
Vamos calcular :
Observa que:
Além disso, e , então:
Assim, , satisfazendo a simetria.

Passo 3

Linearidade: Vamos verificar se a operação é linear em relação ao primeiro argumento. Ou seja, para quaisquer escalares e vetores , precisamos ver se:
Vamos considerar e . Então:
Calculando :
Distribuindo os termos:
Agora, agrupando os termos com e :
Isso é igual a:
Portanto, a linearidade está confirmada.

Passo 4

Positividade: Precisamos mostrar que e que se e somente se .
Calculando :
Podemos reescrever isso como:
Agora, observamos que é sempre maior ou igual a zero. Para ver isso, completamos o quadrado:
Multiplicando por 2:
Então, .
Agora, se :
Como a soma de quadrados só é zero quando cada termo é zero:
Daí, e . Portanto, .

Resposta

Como verificamos a simetria, a linearidade e a positividade positiva, concluímos que define realmente um produto interno em .

Exercícios relacionados

Seja o espaço vetorial gerado pelos vetores . Encontre duas bases diferentes para , digamos, e , e forneça as matrizes e de mudança de base para para , respectivamente.
1- sobrejetiva sobrejetiva
2- BA sobrejetiva sobrejetiva
3- BA injetiva injetiva
4 - BA injetiva injetiva
Prove, ainda, que se então as quatro implicações são verdadeiras.
Seja . Mostre que a função
em que é o -ésimo elemento do vetor , não é uma norma para real.
a. Obtenha a equação de conservação geral da QM na forma diferencial (Equação de Cauchy).