Para cada par de vetores
em
, ponha
. Prove que isto define um produto interno em
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem dois vetores no plano,
e
. Foi definido um jeito de multiplicar esses vetores, chamado de produto interno, dado por:
Nosso objetivo aqui é provar que essa operação realmente funciona como um produto interno em
. Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas de um produto interno, que são:
- Simetria:
- Linearidade:
- Positividade:
e se e somente se
Vamos verificar cada um desses passos para confirmar que
é de fato um produto interno.
Passo 2
Simetria: A gente precisa ver se
.
Vamos calcular
:
Observa que:
Além disso,
e
, então:
Assim,
, satisfazendo a simetria.
Passo 3
Linearidade: Vamos verificar se a operação é linear em relação ao primeiro argumento. Ou seja, para quaisquer escalares
e vetores
, precisamos ver se:
Vamos considerar
e
. Então:
Calculando
:
Distribuindo os termos:
Agora, agrupando os termos com
e
:
Isso é igual a:
Portanto, a linearidade está confirmada.
Passo 4
Positividade: Precisamos mostrar que
e que
se e somente se
.
Calculando
:
Podemos reescrever isso como:
Agora, observamos que
é sempre maior ou igual a zero. Para ver isso, completamos o quadrado:
Multiplicando por 2:
Então,
.
Agora, se
:
Como a soma de quadrados só é zero quando cada termo é zero:
Daí,
e
. Portanto,
.
Resposta
Como verificamos a simetria, a linearidade e a positividade positiva, concluímos que
define realmente um produto interno em
.
Exercícios relacionados
Seja
o espaço vetorial gerado pelos vetores
. Encontre duas bases diferentes para
, digamos,
e
, e forneça as matrizes
e
de mudança de base
para
para
, respectivamente.
1-
sobrejetiva
sobrejetiva
2- BA sobrejetiva sobrejetiva
3- BA injetiva injetiva
4 - BA injetiva injetiva
Prove, ainda, que se então as quatro implicações são verdadeiras.
2- BA sobrejetiva
3- BA injetiva
4 - BA injetiva
Prove, ainda, que se
Seja
. Mostre que a função
em que
é o
-ésimo elemento do vetor
, não é uma norma para
real.
a. Obtenha a equação de conservação geral da QM na forma diferencial (Equação de Cauchy).