Para cada par de vetores u=(x, y), v=(x^prime, y^prime) em R^2, ponha [u, v]=2 xx ^prime -x y^prime-x^prime y+2 y y^prime. Prove que isto define um produto interno em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem dois vetores no plano, [u, v] = 2x x' - x y' - x' y + 2y y' e . Foi definido um jeito de multiplicar esses vetores, chamado de produto interno, dado por:
Nosso objetivo aqui é provar que essa operação realmente funciona como um produto interno em . Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas de um produto interno, que são:
  1. Simetria:
  2. Linearidade:
  3. Positividade: e se e somente se
Vamos verificar cada um desses passos para confirmar que é de fato um produto interno.

Passo 2

Simetria: A gente precisa ver se [v, u] = 2x' x - x' y - x y' + 2y' y .
Vamos calcular 2x' x = 2x x' e 2y' y = 2y y' :
[v, u] = 2x x' - x y' - x' y + 2y y' = [u, v]
Observa que:
Além disso, e , então:
Assim, , satisfazendo a simetria.

Passo 3

Linearidade: Vamos verificar se a operação é linear em relação ao primeiro argumento. Ou seja, para quaisquer escalares [au + bw, v] = a[u, v] + b[w, v] e vetores au + bw = (a x1 + b x2, a y1 + b y2) , precisamos ver se:
[au + bw, v] = 2(a x1 + b x2)x' - (a x1 + b x2)y' - x'(a y1 + b y2) + 2(a y1 + b y2)y'
Vamos considerar = 2a x1 x' + 2b x2 x' - a x1 y' - b x2 y' - a x' y1 - b x' y2 + 2a y1 y' + 2b y2 y' e = a(2x1 x' - x1 y' - x' y1 + 2y1 y') + b(2x2 x' - x2 y' - x' y2 + 2y2 y') . Então:
a[u, v] + b[w, v]
Calculando :
Distribuindo os termos:
Agora, agrupando os termos com e :
Isso é igual a:
Portanto, a linearidade está confirmada.

Passo 4

Positividade: Precisamos mostrar que [u, u] = 2x x - x y - x y + 2y y = 2x^2 - 2x y + 2y^2 e que 2x^2 - 2x y + 2y^2 = 2(x^2 - x y + y^2) se e somente se x^2 - x y + y^2 = (x - y2)^2 + 34y^2 >= 0 .
Calculando 2(x^2 - x y + y^2) >= 0 :
2(x^2 - x y + y^2) = 0 implies x^2 - x y + y^2 = 0
Podemos reescrever isso como:
(x - y2)^2 + 34y^2 = 0 implies x - y2 = 0 e y = 0
Agora, observamos que é sempre maior ou igual a zero. Para ver isso, completamos o quadrado:
Multiplicando por 2:
Então, .
Agora, se :
Como a soma de quadrados só é zero quando cada termo é zero:
Daí, e . Portanto, .

Resposta

Como verificamos a simetria, a linearidade e a positividade positiva, concluímos que define realmente um produto interno em .

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