(b) O subconjunto B doteq1 é uma base para o espaço vetorial real (V,+,.$) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se o subconjunto B = 1 é uma base para o espaço vetorial real (V, +, cdot). Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de base de espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e verificar se B satisfaz os critérios necessários para ser uma base desse espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base em álgebra linear. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que:
  1. São linearmente independentes: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
  2. Geram o espaço vetorial: Qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Então, para B = 1 ser uma base para V, ela precisa cumprir esses dois requisitos.

Passo 3

Vamos verificar o primeiro critério: linearmente independente. No nosso caso, temos apenas um vetor, que é o número 1. Um conjunto com um único vetor é automaticamente linearmente independente, porque não há outros vetores com os quais ele possa ser relacionado. Portanto, B é linearmente independente.

Passo 4

Agora, vamos ao segundo critério: gerar o espaço vetorial. Precisamos ver se qualquer elemento de V pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em B. Supondo que V seja o conjunto dos números reais R, qualquer número real v pode ser escrito como v = a cdot 1, onde a é um número real. Isso significa que B gera todo o espaço V.

Passo 5

Como B = 1 satisfaz ambos os critérios — é linearmente independente e gera todo o espaço vetorial V — podemos concluir que B é, de fato, uma base para V.

Resposta

Sim, o subconjunto B = 1 é uma base para o espaço vetorial real (V, +, cdot) porque é linearmente independente e gera todo o espaço V.

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