(b) O subconjunto
é uma base para o espaço vetorial real
.$) ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se o subconjunto
é uma base para o espaço vetorial real
. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de base de espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e verificar se
satisfaz os critérios necessários para ser uma base desse espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base em álgebra linear. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que:
- São linearmente independentes: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
- Geram o espaço vetorial: Qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Então, para
ser uma base para
, ela precisa cumprir esses dois requisitos.
Passo 3
Vamos verificar o primeiro critério: linearmente independente. No nosso caso, temos apenas um vetor, que é o número 1. Um conjunto com um único vetor é automaticamente linearmente independente, porque não há outros vetores com os quais ele possa ser relacionado. Portanto,
é linearmente independente.
Passo 4
Agora, vamos ao segundo critério: gerar o espaço vetorial. Precisamos ver se qualquer elemento de
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em
. Supondo que
seja o conjunto dos números reais
, qualquer número real
pode ser escrito como
, onde
é um número real. Isso significa que
gera todo o espaço
.
Passo 5
Como
satisfaz ambos os critérios — é linearmente independente e gera todo o espaço vetorial
— podemos concluir que
é, de fato, uma base para
.
Resposta
Sim, o subconjunto
é uma base para o espaço vetorial real
porque é linearmente independente e gera todo o espaço
.
Exercícios relacionados
Ache uma base e a dimensão dos seguintes susbespaços vetoriais do espaço vetorial real
:
Mostre que os subconjuntos
, dados por
são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
. Encontre bases para os subespaços vetorial
. Quais são as dimensões dos subespaços vetoriais
e
? Ache um vetor
.
Encontre o valor
a fim de que os vetores
e
sejam ortogonais.
Dizemos que os vetores
e
em
são coplanares quando o seu produto misto é nulo, isto é,
. Determine o valor
a fim de que
e
sejam coplanares.