Dizemos que os vetores e em são coplanares quando o seu produto misto é nulo, isto é, . Determine o valor a fim de que e sejam coplanares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o valor de que faz com que os vetores , e sejam coplanares. Para isso, vamos usar o conceito de produto misto, que nos ajuda a verificar se três vetores estão no mesmo plano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto misto. Ele é calculado como . Se o resultado for zero, significa que os vetores são coplanares.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores em resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais. A fórmula é:
Calculando o determinante:
= (21 - 15x, -14 + 9x, 1)
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot (v times w) = 1 cdot (21 - 15x) + x cdot (-14 + 9x) + 1 cdot 1 :
= 21 - 15x - 14x + 9x^2 + 1
= 9x^2 - 29x + 22
Passo 5
Para que os vetores sejam coplanares, o produto misto deve ser igual a zero:
9x^2 - 29x + 22 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 29 pm raiz29^2 - 4 cdot 9 cdot 222 cdot 9
x = 29 pm raiz841 - 79218
x = 29 pm raiz4918
x = 29 pm 718
Isso nos dá duas soluções:
x = 3618 = 2 ou x = 2218 = 119
Resposta
Os valores de que tornam os vetores coplanares são ou .