Ache uma base e a dimensão dos seguintes susbespaços vetoriais do espaço vetorial real
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta dois subespaços vetoriais
e
dentro do espaço real
. A tarefa é encontrar uma base e a dimensão de cada um desses subespaços. Para isso, precisamos entender as condições que definem
e
e expressar os vetores desses subespaços em termos de variáveis livres. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como solução de sistemas lineares e identificação de vetores base.
Passo 2
Vamos começar pelo subespaço
:
Temos a equação linear
que relaciona as componentes dos vetores em
. Nosso objetivo é expressar algumas componentes em termos de outras para identificar as variáveis livres.
Primeiro, escolhemos quais variáveis serão livres. Vamos deixar
e
como livres. Então:
-
pode ser qualquer número real. -
também pode ser qualquer número real. -
A equação
nos permite expressar em termos de e . Vamos isolar :
Agora, podemos expressar um vetor genérico de
em termos das variáveis livres
,
, e
:
Podemos separar isso em combinações lineares das variáveis livres:
Dessa forma, identificamos que os vetores
,
e
formam uma base para
.
Agora, vamos para o subespaço
:
Aqui, temos duas equações que relacionam as componentes dos vetores em
. Vamos expressar
e
em termos de
e
. Como
e
, podemos reescrever um vetor de
como:
Podemos separar isso em combinações lineares das variáveis
e
:
Portanto, os vetores
e
formam uma base para
.
Resposta
Base e dimensão de
:
- Base:
- Dimensão: 3
Base e dimensão de
:
- Base:
- Dimensão: 2
Exercícios relacionados
Mostre que os subconjuntos
, dados por
são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
. Encontre bases para os subespaços vetorial
. Quais são as dimensões dos subespaços vetoriais
e
? Ache um vetor
.
Ache uma base e a dimensão do subespaço vetorial
do espaço vetorial real
, que é gerado pelos seguintes polinômios:
(b) O subconjunto
é uma base para o espaço vetorial real
.$) ? Justifique sua resposta.
Encontre o valor
a fim de que os vetores
e
sejam ortogonais.