U doteq(a, b, c, d) ; b-2 c+d=0 e W doteq(a, b, c, d) ; a=d, b=2 c
Ache uma base e a dimensão dos seguintes susbespaços vetoriais do espaço vetorial real (R^4,+, cdot) :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta dois subespaços vetoriais e dentro do espaço real . A tarefa é encontrar uma base e a dimensão de cada um desses subespaços. Para isso, precisamos entender as condições que definem e e expressar os vetores desses subespaços em termos de variáveis livres. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como solução de sistemas lineares e identificação de vetores base.

Passo 2

Vamos começar pelo subespaço b = 2c - d :
(a, b, c, d) = (a, 2c - d, c, d)
Temos a equação linear (a, 2c - d, c, d) = a(1, 0, 0, 0) + c(0, 2, 1, 0) + d(0, -1, 0, 1) que relaciona as componentes dos vetores em (a, b, c, d) = (d, 2c, c, d) . Nosso objetivo é expressar algumas componentes em termos de outras para identificar as variáveis livres.
Primeiro, escolhemos quais variáveis serão livres. Vamos deixar (d, 2c, c, d) = c(0, 2, 1, 0) + d(1, 0, 0, 1) e como livres. Então:
  • pode ser qualquer número real.
  • também pode ser qualquer número real.
  • A equação nos permite expressar em termos de e . Vamos isolar :
Agora, podemos expressar um vetor genérico de em termos das variáveis livres , , e :
Podemos separar isso em combinações lineares das variáveis livres:
Dessa forma, identificamos que os vetores , e formam uma base para .
Agora, vamos para o subespaço :
Aqui, temos duas equações que relacionam as componentes dos vetores em . Vamos expressar e em termos de e . Como e , podemos reescrever um vetor de como:
Podemos separar isso em combinações lineares das variáveis e :
Portanto, os vetores e formam uma base para .

Resposta

Base e dimensão de :
  • Base:
  • Dimensão: 3
Base e dimensão de :
  • Base:
  • Dimensão: 2

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W1 doteq(x, y, z) in R^3 ; 2 x-3 y+4 z=0 e W2 doteq(x, y, z) in R^3 ; 3 x+2 y-5 z=0
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