Encontre o valor alpha in R a fim de que os vetores v=(alpha, 1-alpha, 1+alpha) e u= (alpha, 1+alpha, 1-alpha) sejam ortogonais.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor de de forma que os vetores e sejam ortogonais. Para isso, vamos utilizar o conceito de produto escalar de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. Ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar dos vetores v cdot u = a cdot d + b cdot e + c cdot f e v cdot u = alpha cdot alpha + (1 - alpha) cdot (1 + alpha) + (1 + alpha) cdot (1 - alpha) . O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão:
v cdot u = alpha^2 + (1 - alpha^2) + (1 - alpha^2)
Simplificando mais:
v cdot u = alpha^2 + 1 - alpha^2 + 1 - alpha^2 = 2 - alpha^2

Passo 5

Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser zero:
2 - alpha^2 = 0
Resolvendo para alpha^2 = 2 alpha = raiz2 ou alpha = -raiz2 :

Resposta

alpha = raiz2 ou alpha = -raiz2

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