Mostre que os subconjuntos
, dados por
são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
. Encontre bases para os subespaços vetorial
. Quais são as dimensões dos subespaços vetoriais
e
? Ache um vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para mostrar que os subconjuntos
e
são subespaços vetoriais de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele deve satisfazer. Depois, vamos encontrar bases para cada subespaço, determinar suas dimensões e, por fim, identificar um vetor que pertença à interseção desses dois subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de
é um subespaço vetorial se:
- Contém o vetor zero (
). - É fechado sobre a adição: se
, então . - É fechado sobre a multiplicação por escalar: se
e é um escalar, então .
Vamos verificar essas condições para
e
.
Passo 3
Vamos começar com
.
-
Vetor Zero: Substituindo
, , na equação, temos . Então, . -
Fechamento sobre Adição: Se
e , então: Somando as duas equações:Portanto,. -
Fechamento sobre Multiplicação por Escalar: Se
e é um escalar, então: Logo,.
Assim,
é um subespaço vetorial de
.
Passo 4
Agora, vamos verificar
.
-
Vetor Zero: Substituindo
, , na equação, temos . Então, . -
Fechamento sobre Adição: Se
e , então: Somando as duas equações:Portanto,. -
Fechamento sobre Multiplicação por Escalar: Se
e é um escalar, então: Logo,.
Assim,
também é um subespaço vetorial de
.
Passo 5
Agora que confirmamos que tanto
quanto
são subespaços vetoriais, vamos encontrar bases para cada um deles. Para isso, vamos expressar as equações que definem
e
e parametrizar as soluções.
Para
:
Podemos resolver essa equação expressando uma variável em termos das outras. Vamos isolar
:
Então, um vetor em
pode ser escrito como:
Portanto, uma base para
é:
Para
:
Vamos isolar
:
Então, um vetor em
pode ser escrito como:
Portanto, uma base para
é:
Passo 6
Agora que temos as bases, podemos determinar as dimensões de
e
. A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores em uma base desse subespaço.
-
Dimensão de
: A base de possui 2 vetores, então . -
Dimensão de
: A base de também possui 2 vetores, então .
Passo 7
Por fim, precisamos encontrar um vetor que pertença à interseção
e que seja diferente do vetor zero. Isso significa que encontramos um vetor que satisfaz as duas equações:
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação.
Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para igualar os coeficientes de
:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos
na primeira equação original:
Simplificando:
Então, um vetor na interseção
pode ser escrito em termos de
:
Para obter um vetor não nulo, basta escolher
:
Resposta
Assim, encontramos que
e
são subespaços vetoriais de
com dimensão 2 cada. As bases são:
E um vetor não nulo na interseção
é:
Exercícios relacionados
Ache uma base e a dimensão do subespaço vetorial
do espaço vetorial real
, que é gerado pelos seguintes polinômios:
Considere os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial real
:
Determine bases e as dimensões dos seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial real
:
Ache uma base e a dimensão dos seguintes susbespaços vetoriais do espaço vetorial real
:
(b) O subconjunto
é uma base para o espaço vetorial real
.$) ? Justifique sua resposta.