Mostre que os subconjuntos W1, W2 subseteq R^3, dados por
W1 doteq(x, y, z) in R^3 ; 2 x-3 y+4 z=0 e W2 doteq(x, y, z) in R^3 ; 3 x+2 y-5 z=0
são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (R^3,+, cdot). Encontre bases para os subespaços vetorial W1 e W2. Quais são as dimensões dos subespaços vetoriais W1 e W2 ? Ache um vetor v in W1 cap W2 backslashO.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para mostrar que os subconjuntos e são subespaços vetoriais de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele deve satisfazer. Depois, vamos encontrar bases para cada subespaço, determinar suas dimensões e, por fim, identificar um vetor que pertença à interseção desses dois subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de é um subespaço vetorial se:
  1. Contém o vetor zero ( ).
  2. É fechado sobre a adição: se , então .
  3. É fechado sobre a multiplicação por escalar: se e é um escalar, então .
Vamos verificar essas condições para e .

Passo 3

Vamos começar com 2x1 - 3y1 + 4z1 = 0 e 2x2 - 3y2 + 4z2 = 0 .
  1. Vetor Zero: Substituindo 2(x1 + x2) - 3(y1 + y2) + 4(z1 + z2) = 0 , 2(cx) - 3(cy) + 4(cz) = c(2x - 3y + 4z) = c cdot 0 = 0 , na equação, temos . Então, .
  2. Fechamento sobre Adição: Se e , então:
    Somando as duas equações:
    Portanto, .
  3. Fechamento sobre Multiplicação por Escalar: Se e é um escalar, então:
    Logo, .
Assim, é um subespaço vetorial de .

Passo 4

Agora, vamos verificar 3x1 + 2y1 - 5z1 = 0 e 3x2 + 2y2 - 5z2 = 0 .
  1. Vetor Zero: Substituindo 3(x1 + x2) + 2(y1 + y2) - 5(z1 + z2) = 0 , 3(cx) + 2(cy) - 5(cz) = c(3x + 2y - 5z) = c cdot 0 = 0 , na equação, temos . Então, .
  2. Fechamento sobre Adição: Se e , então:
    Somando as duas equações:
    Portanto, .
  3. Fechamento sobre Multiplicação por Escalar: Se e é um escalar, então:
    Logo, .
Assim, também é um subespaço vetorial de .

Passo 5

Agora que confirmamos que tanto 2x - 3y + 4z = 0 quanto x = 3y - 4z2 são subespaços vetoriais, vamos encontrar bases para cada um deles. Para isso, vamos expressar as equações que definem ( 3y - 4z2, y, z ) = y ( 32, 1, 0 ) + z ( -2, 0, 1 ) e ( 32, 1, 0 ), ( -2, 0, 1 ) e parametrizar as soluções.
Para 3x + 2y - 5z = 0 :
x = -2y + 5z3
Podemos resolver essa equação expressando uma variável em termos das outras. Vamos isolar ( -2y + 5z3, y, z ) = y ( -23, 1, 0 ) + z ( 53, 0, 1 ) :
( -23, 1, 0 ), ( 53, 0, 1 )
Então, um vetor em pode ser escrito como:
Portanto, uma base para é:
Para :
Vamos isolar :
Então, um vetor em pode ser escrito como:
Portanto, uma base para é:

Passo 6

Agora que temos as bases, podemos determinar as dimensões de e . A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores em uma base desse subespaço.
  • Dimensão de : A base de possui 2 vetores, então .
  • Dimensão de : A base de também possui 2 vetores, então .

Passo 7

Por fim, precisamos encontrar um vetor que pertença à interseção 2x - 3y + 4z = 0 3x + 2y - 5z = 0 e que seja diferente do vetor zero. Isso significa que encontramos um vetor que satisfaz as duas equações:
6x - 9y + 12z = 0 6x + 4y - 10z = 0
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação.
Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para igualar os coeficientes de -13y + 22z = 0 implies 13y = 22z implies y = 2213z :
2x - 3( 2213z ) + 4z = 0 implies 2x - 6613z + 4z = 0
Subtraindo a segunda equação da primeira:
2x - 6613z + 5213z = 0 implies 2x - 1413z = 0 implies 2x = 1413z implies x = 713z
Agora, substituímos ( 713z, 2213z, z ) = z ( 713, 2213, 1 ) na primeira equação original:
v = ( 713 times 13, 2213 times 13, 13 ) = (7, 22, 13)
Simplificando:
Então, um vetor na interseção pode ser escrito em termos de :
Para obter um vetor não nulo, basta escolher :

Resposta

Assim, encontramos que W1 = ( 32, 1, 0 ), ( -2, 0, 1 ) e W2 = ( -23, 1, 0 ), ( 53, 0, 1 ) são subespaços vetoriais de v = (7, 22, 13) com dimensão 2 cada. As bases são:
E um vetor não nulo na interseção é:

Exercícios relacionados

Ache uma base e a dimensão do subespaço vetorial W do espaço vetorial real (mathscrP(R),+, cdot), que é gerado pelos seguintes polinômios:
Considere os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial real (R^3,+, cdot) :
S doteq[(1,-1,2),(2,1,1)], & T doteq[(0,1,-1),(1,2,1)] U doteq(x, y, z) ; x+y=4 x-z=0 & e V doteq(x, y, z) ; 3 x-y-z=0
Determine bases e as dimensões dos seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial real (R^3,+, cdot) :
U doteq(a, b, c, d) ; b-2 c+d=0 e W doteq(a, b, c, d) ; a=d, b=2 c
Ache uma base e a dimensão dos seguintes susbespaços vetoriais do espaço vetorial real (R^4,+, cdot) :
(b) O subconjunto B doteq1 é uma base para o espaço vetorial real (V,+,.$) ? Justifique sua resposta.