(b) sumn=0^infty 3^2 n6^n () diverge () converge para ldots .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série infinita sumn=0^infty 3^2 n6^n e precisa descobrir se ela converge (ou seja, se soma a um valor finito) ou diverge (não soma a nada de certo). Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
3^2n6^n = (3^2)^n6^n = 9^n6^n = (96)^n = (32)^n
Então, a série fica:
sumn=0^infty (32)^n

Passo 3

Essa é uma série geométrica onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por 32. Para séries geométricas da forma sumn=0^infty r^n, sabemos que ela converge se o valor absoluto de r for menor que 1, ou seja, |r| < 1. Se |r| >= 1, a série diverge.

Passo 4

No nosso caso, r = 32, e |32| = 1,5, que é maior que 1. Isso significa que a série não vai somar a nenhum valor finito e, portanto, ela diverge.

Resposta

A série diverge.

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