Seja uma função vetorial e um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função escalar e o operador rotacional, representado por . Nosso objetivo é verificar se a expressão faz sentido matematicamente. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional e a que tipo de funções ele pode ser aplicado.

Passo 2

O rotacional, denotado por ou , é um operador que atua sobre campos vetoriais. Ele mede a tendência de um campo vetorial de “girar” ou “rodar” em torno de um ponto. Em termos simples, se tivermos um campo vetorial , o rotacional nos dá outro campo vetorial que indica a rotação local de .

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Aqui, é uma função escalar, ou seja, ela atribui um único valor numérico a cada ponto do espaço, e não um vetor. O operador rotacional, como vimos, só pode ser aplicado a campos vetoriais porque ele precisa de direções para calcular a “rotação”. Aplicá-lo a uma função escalar não faz sentido matematicamente, já que não há direção envolvida.

Resposta

A expressão não tem significado, pois o operador rotacional só pode ser aplicado a campos vetoriais, não a funções escalares.

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