Seja
uma função vetorial e
um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Passo 1
Primeiramente, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função escalar
e o operador rotacional, representado por
. Nosso objetivo é verificar se a expressão
faz sentido matematicamente. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional e a que tipo de funções ele pode ser aplicado.
Passo 2
O rotacional, denotado por
ou
, é um operador que atua sobre campos vetoriais. Ele mede a tendência de um campo vetorial de “girar” ou “rodar” em torno de um ponto. Em termos simples, se tivermos um campo vetorial
, o rotacional
nos dá outro campo vetorial que indica a rotação local de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Aqui,
é uma função escalar, ou seja, ela atribui um único valor numérico a cada ponto do espaço, e não um vetor. O operador rotacional, como vimos, só pode ser aplicado a campos vetoriais porque ele precisa de direções para calcular a “rotação”. Aplicá-lo a uma função escalar não faz sentido matematicamente, já que não há direção envolvida.
Resposta
A expressão
não tem significado, pois o operador rotacional só pode ser aplicado a campos vetoriais, não a funções escalares.
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O fato de
ser convergente implica que as séries a seguir convergem?
.
(d) A série
( ) converge para - 2
( ) converge para - 2
a)
(b)
diverge
converge para
.