1^ a ) Resolva a integral indefinida:
a) integral (x-1) d xx^3-x^2-2 x

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para resolvermos a integral indefinida:
integral (x - 1) , dxx^3 - x^2 - 2x
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar a integração de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Temos:
x^3 - x^2 - 2x
Podemos fatorar um x(x^2 - x - 2) em comum:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático x(x - 2)(x + 1) . Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1.
Então:
Portanto, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração x - 1x(x - 2)(x + 1) = Ax + Bx - 2 + Cx + 1 como uma soma de frações parciais. Assumimos que:
onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de x - 1 = A(x - 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 2) , 0 - 1 = A(-2)(1) + B(0)(1) + C(0)(-2) e -1 = -2A , vamos multiplicar ambos os lados da equação por A = 12 :
2 - 1 = A(0)(3) + B(2)(3) + C(2)(0)
Agora, para facilitar, escolhemos valores específicos de 1 = 6B que tornam dois dos termos zero, permitindo resolver para cada constante:
  1. Para B = 16 :
-1 - 1 = A(-3)(0) + B(-1)(0) + C(-1)(-3)
-2 = 3C
C = -23
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora que temos os valores de x - 1x(x - 2)(x + 1) = 12x + 16x - 2 + -23x + 1 , 12x + 16(x - 2) - 23(x + 1) e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Simplificando, fica:

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral ( 12x + 16(x - 2) - 23(x + 1) ) dx
Isso resulta em:
12 ln|x| + 16 ln|x - 2| - 23 ln|x + 1| + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
12 ln|x| + 16 ln|x - 2| - 23 ln|x + 1| + C

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