Seja r uma função vetorial e F um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Grad(f)

Passo 1

Então, o que temos aqui? O enunciado fala sobre funções vetoriais e campos vetoriais. A gente precisa analisar a expressão Grad(f) para ver se ela faz sentido dentro desse contexto. A matéria envolvida é o Cálculo Vetorial, especialmente os operadores diferenciais como o gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é Grad(f). O operador gradiente, denotado por “Grad” ou nabla, é usado para calcular a taxa de variação de uma função escalar. Ou seja, se f é uma função que atribui um número real a cada ponto do espaço, então Grad(f) nos dá um vetor que aponta na direção de maior crescimento de f.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a expressão Grad(f) tem significado. Como mencionamos, o gradiente é aplicado a funções escalares. Se f é uma função escalar, então Grad(f) está perfeitamente definido.

Passo 4

Por último, vamos identificar se o resultado de Grad(f) é um campo vetorial ou um escalar. Como o gradiente retorna um vetor em cada ponto do espaço, Grad(f) é um campo vetorial.

Resposta

A expressão Grad(f) tem significado e resulta em um campo vetorial.

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