b) No tempo t=0, o sistema está no estado
|psi(0)rang<==1raiz2[|+1rang<=-|-1rang<=]
Qual é o estado mid Psi(t)> no tempo t ?. No tempo t é medida a componente z do momento angular; quais são as probabilidades dos resultados possíveis ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos diz que, no tempo $ t = 0 $, o sistema está no estado:
t = 0
Nosso objetivo é descobrir qual será o estado $ |\Psi(t)\rangle $ desse sistema no tempo $ t $. Além disso, vamos calcular as probabilidades dos possíveis resultados ao medir a componente $ z $ do momento angular nesse tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica como evolução temporal dos estados e cálculo de probabilidades de medições.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o estado quântico evolui com o tempo. Na mecânica quântica, a evolução temporal de um estado é dada pela aplicação do operador de evolução temporal:
|Psi(t)rang<= = e^-iHt/hbar |psi(0)rang<=
Aqui, $ H $ é o Hamiltoniano do sistema, que descreve a energia total do sistema, e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Vamos assumir que os estados $ |+1\rangle $ e $ |-1\rangle $ são autovetores do Hamiltoniano $ H $, ou seja:
|+1rang<=
|-1rang<=
Com isso, a aplicação do operador de evolução temporal fica mais simples, porque quando aplicamos $ e^{-iHt/\hbar} $ a um autovetor do Hamiltoniano, simplesmente multiplicamos pelo fator de fase correspondente.

Passo 4

Aplicando o operador de evolução temporal ao estado inicial:
|Psi(t)rang<= = 1raiz2 [ e^-iE+1t/hbar |+1rang<= - e^-iE-1t/hbar |-1rang<= ]
Esse é o estado do sistema no tempo $ t $.

Passo 5

Agora, queremos calcular as probabilidades de obtermos os valores possíveis ao medir a componente $ z $ do momento angular. Os possíveis resultados são os próprios valores $ +1 $ e $ -1 $.
A probabilidade de medir um valor específico é dada pelo quadrado do módulo do coeficiente correspondente no estado $ |\Psi(t)\rangle $.

Passo 6

Vamos calcular a probabilidade de medir $ +1 $:
+1
Da mesma forma, a probabilidade de medir $ -1 $:
P(+1) = | 1raiz2 e^-iE+1t/hbar |^2 = 12

Resposta

O estado do sistema no tempo $ t $ é
t
As probabilidades dos resultados ao medir a componente $ z $ do momento angular são:
|Psi(t)rang<= = 1raiz2 [ e^-iE+1t/hbar |+1rang<= - e^-iE-1t/hbar |-1rang<= ]

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