Mostre
suml summ Yl^m(theta, varphi) Yl^m *(theta^prime, varphi^prime)=de

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer mostrar que a soma dupla das funções esféricas harmônicas $ Y_{l}^{m}(\theta, \varphi) $ multiplicadas por suas versões conjugadas resulta em dois deltas de Dirac, um em $ \cos \theta $ e outro em $ \varphi $. Isso está relacionado ao conteúdo de Funções Esféricas Harmônicas e Ortogonalidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções esféricas são ortogonais e completas em espaços esféricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as funções esféricas harmônicas $ Y_{l}^{m}(\theta, \varphi) $ formam uma base completa para funções definidas na superfície de uma esfera. Isso significa que qualquer função na esfera pode ser expressa como uma soma ou integral dessas harmônicas.

Passo 3

A ortogonalidade das funções esféricas harmônicas é dada por:
integral0^2pi integral0^pi Yl^m(theta, varphi) Yl'^m' *(theta, varphi) sintheta , dtheta , dvarphi = de
Isso significa que quando $ l \neq l’ $ ou $ m \neq m’ $, a integral é zero, e quando são iguais, a integral é um.

Passo 4

Agora, para mostrar a igualdade proposta, precisamos usar a completeness das funções esféricas harmônicas. A completude nos diz que:
suml=0^infty summ=-l^l Yl^m(theta, varphi) Yl^m *(theta', varphi') = de
Isso basicamente afirma que a soma sobre todas as harmônicas retorna uma função delta que “seleciona” pontos específicos na esfera.

Passo 5

Para entender isso melhor, pense que a função delta de Dirac $ \delta $ é usada para “apontar” onde dois pontos na esfera são exatamente os mesmos. Assim, a soma das harmônicas cria essa condição de “igualdade” através das coordenadas $ \theta $ e $ \varphi $.

Passo 6

Portanto, juntando tudo, mostramos que ao somar todas as funções esféricas harmônicas e suas conjugadas, obtemos os deltas de Dirac nas coordenadas angulares. Isso confirma a igualdade que queríamos provar.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
suml summ Yl^m(theta, varphi) Yl^m *(theta^prime, varphi^prime)=de

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