Mostre
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer mostrar que a soma dupla das funções esféricas harmônicas $ Y_{l}^{m}(\theta, \varphi) $ multiplicadas por suas versões conjugadas resulta em dois deltas de Dirac, um em $ \cos \theta $ e outro em $ \varphi $. Isso está relacionado ao conteúdo de Funções Esféricas Harmônicas e Ortogonalidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções esféricas são ortogonais e completas em espaços esféricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as funções esféricas harmônicas $ Y_{l}^{m}(\theta, \varphi) $ formam uma base completa para funções definidas na superfície de uma esfera. Isso significa que qualquer função na esfera pode ser expressa como uma soma ou integral dessas harmônicas.
Passo 3
A ortogonalidade das funções esféricas harmônicas é dada por:
Isso significa que quando $ l \neq l’ $ ou $ m \neq m’ $, a integral é zero, e quando são iguais, a integral é um.
Passo 4
Agora, para mostrar a igualdade proposta, precisamos usar a completeness das funções esféricas harmônicas. A completude nos diz que:
Isso basicamente afirma que a soma sobre todas as harmônicas retorna uma função delta que “seleciona” pontos específicos na esfera.
Passo 5
Para entender isso melhor, pense que a função delta de Dirac $ \delta $ é usada para “apontar” onde dois pontos na esfera são exatamente os mesmos. Assim, a soma das harmônicas cria essa condição de “igualdade” através das coordenadas $ \theta $ e $ \varphi $.
Passo 6
Portanto, juntando tudo, mostramos que ao somar todas as funções esféricas harmônicas e suas conjugadas, obtemos os deltas de Dirac nas coordenadas angulares. Isso confirma a igualdade que queríamos provar.
Resposta
Portanto, demonstramos que: