b) Dê a expressões para os três valores médios lang<= Jx^2rang<=,lang<= Jy^2rang<= e lang<= Jz^2rang<= em termos de alpha, beta e gamma
DICA: Escreva Jx e Jy em termos de J+e J-ou utilize as representações matriciais de Jx, Jy, Jz e |psirang<= nesta base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos as expressões dos valores médios lang<= Jx^2 rang<=, lang<= Jy^2 rang<= e lang<= Jz^2 rang<= em termos de alpha, beta e gamma. Estamos trabalhando com operadores de momento angular na mecânica quântica e vamos precisar usar as representações matriciais desses operadores ou expressá-los em termos dos operadores de subida J+ e descida J-. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como os operadores de momento angular Jx, Jy e Jz são representados em termos dos operadores de subida J+ e descida J-. As relações são:
Jx = J+ + J-2
Jy = J+ - J-2i
Jz = Jz
Essas expressões nos ajudam a reescrever Jx e Jy de uma forma mais conveniente para calcular seus quadrados.

Passo 3

Agora, vamos calcular Jx^2 usando a expressão que encontramos:
Jx^2 = ( J+ + J-2 )^2 = J+^2 + J+J- + J-J+ + J-^24
Da mesma forma, para Jy^2:
Jy^2 = ( J+ - J-2i )^2 = J+^2 - J+J- - J-J+ + J-^2-4
Perceba que o i no denominador ao quadrado se torna -1, o que inverte o sinal.

Passo 4

Vamos simplificar as expressões para Jx^2 e Jy^2. Observamos que:
J+J- + J-J+ = 2Jz + 2Jz^2 - 2Jz^2 = 2(Jz^2 + Jz)
Portanto, substituindo de volta:
Jx^2 = J+^2 + J-^2 + 2(Jz^2 + Jz)4
Jy^2 = J+^2 + J-^2 - 2(Jz^2 + Jz)4

Passo 5

Agora, vamos calcular as expectativas lang<= Jx^2 rang<=, lang<= Jy^2 rang<= e lang<= Jz^2 rang<= para um estado |psirang<= dado por:
|psirang<= = alpha |j,m+1rang<= + beta |j,mrang<= + gamma |j,m-1rang<=
Aqui, alpha, beta e gamma são os coeficientes do estado quântico em uma base específica.

Passo 6

Vamos calcular lang<= Jz^2 rang<= primeiro, pois é mais direto. Aplicando o operador Jz^2 no estado |psirang<=:
lang<= Jz^2 rang<= = |alpha|^2 (m+1)^2 + |beta|^2 m^2 + |gamma|^2 (m-1)^2
Isso nos dá a expectativa de Jz^2 em termos de alpha, beta e gamma.

Passo 7

Para lang<= Jx^2 rang<=, usamos a expressão que encontramos:
lang<= Jx^2 rang<= = lang<= J+^2 rang<= + lang<= J-^2 rang<= + 2lang<= Jz^2 + Jz rang<=4
Calculamos cada termo separadamente:
  • lang<= J+^2 rang<= e lang<= J-^2 rang<= podem ser calculados aplicando os operadores no estado |psirang<=.
  • lang<= Jz rang<= já temos a partir do passo anterior.

Passo 8

De forma semelhante, para lang<= Jy^2 rang<=:
lang<= Jy^2 rang<= = lang<= J+^2 rang<= + lang<= J-^2 rang<= - 2lang<= Jz^2 + Jz rang<=4
Novamente, calculamos cada termo separadamente e substituímos os valores de alpha, beta e gamma conforme necessário.

Resposta

As expressões dos valores médios em termos de alpha, beta e gamma são:
lang<= Jx^2 rang<= = |alpha|^2 + |gamma|^24 ( J(J+1) - m(m pm 1) ) + |beta|^2 m^24
lang<= Jy^2 rang<= = |alpha|^2 + |gamma|^24 ( J(J+1) - m(m pm 1) ) + |beta|^2 m^24
lang<= Jz^2 rang<= = |alpha|^2 (m+1)^2 + |beta|^2 m^2 + |gamma|^2 (m-1)^2
Essas fórmulas relacionam os valores médios dos quadrados dos operadores de momento angular com os coeficientes alpha, beta e gamma do estado quântico considerado.

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