b) Dê a expressões para os três valores médios
e
em termos de
e
DICA: Escreva
e
em termos de
e
ou utilize as representações matriciais de
e
nesta base.
DICA: Escreva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos as expressões dos valores médios
,
e
em termos de
,
e
. Estamos trabalhando com operadores de momento angular na mecânica quântica e vamos precisar usar as representações matriciais desses operadores ou expressá-los em termos dos operadores de subida
e descida
. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como os operadores de momento angular
,
e
são representados em termos dos operadores de subida
e descida
. As relações são:
Essas expressões nos ajudam a reescrever
e
de uma forma mais conveniente para calcular seus quadrados.
Passo 3
Agora, vamos calcular
usando a expressão que encontramos:
Da mesma forma, para
:
Perceba que o
no denominador ao quadrado se torna
, o que inverte o sinal.
Passo 4
Vamos simplificar as expressões para
e
. Observamos que:
Portanto, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos calcular as expectativas
,
e
para um estado
dado por:
Aqui,
,
e
são os coeficientes do estado quântico em uma base específica.
Passo 6
Vamos calcular
primeiro, pois é mais direto. Aplicando o operador
no estado
:
Isso nos dá a expectativa de
em termos de
,
e
.
Passo 7
Para
, usamos a expressão que encontramos:
Calculamos cada termo separadamente:
-
e podem ser calculados aplicando os operadores no estado . -
já temos a partir do passo anterior.
Passo 8
De forma semelhante, para
:
Novamente, calculamos cada termo separadamente e substituímos os valores de
,
e
conforme necessário.
Resposta
As expressões dos valores médios em termos de
,
e
são:
Essas fórmulas relacionam os valores médios dos quadrados dos operadores de momento angular com os coeficientes
,
e
do estado quântico considerado.