Um feixe de partículas está sujeito a medidas simultâneas de variáveis de momento angular
e
. As medidas fornecem os pares de valores
e
com probabilidades
e 1/4 , respectivamente.
a) Reconstruir o estado do feixe imediatamente antes da medição.
a) Reconstruir o estado do feixe imediatamente antes da medição.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um feixe de partículas onde medimos simultaneamente as variáveis de momento angular total $ L^{2} $ e o momento angular na direção z, $ L_{\mathrm{z}} $. As medidas deram dois pares de valores possíveis: $ (l=0, m=0) $ com probabilidade $ \frac{3}{4} $ e $ (l=1, m=-1) $ com probabilidade $ \frac{1}{4} $. Nosso objetivo aqui é reconstruir o estado desse feixe de partículas imediatamente antes da medição, ou seja, encontrar a descrição quântica do estado baseada nessas probabilidades.
Passo 2
Para reconstruir o estado do feixe, vamos utilizar o conceito de matriz densidade. A matriz densidade é uma ferramenta que descreve estados quânticos estatísticos, ou seja, situações onde há uma mistura probabilística de diferentes estados puros.
Cada par $ (l, m) $ corresponde a um estado quântico puro, representado por $ |l, m\rangle $. A matriz densidade $ \rho $ para o nosso sistema será a soma das projeções desses estados puros, cada uma ponderada pela probabilidade correspondente.
Passo 3
Vamos montar a matriz densidade usando as probabilidades fornecidas:
- Para o estado $ |0, 0\rangle $ com probabilidade $ \frac{3}{4} $, a contribuição para $ \rho $ é $ \frac{3}{4} |0, 0\rangle \langle 0, 0| $.
- Para o estado $ |1, -1\rangle $ com probabilidade $ \frac{1}{4} $, a contribuição para $ \rho $ é $ \frac{1}{4} |1, -1\rangle \langle 1, -1| $.
Então, a matriz densidade total é a soma dessas contribuições:
Resposta
O estado do feixe imediatamente antes da medição é descrito pela matriz densidade