Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem três vetores no espaço, chamados de , e . O enunciado quer que a gente mostre que o valor absoluto do produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois é igual, independente da ordem dos vetores dentro do produto vetorial. Isso envolve conceitos de produto escalar, produto vetorial e produto misto na matéria de Álgebra Vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são produto escalar e produto vetorial. O produto escalar entre dois vetores resulta em um número (escalar) e é calculado como:
onde é o ângulo entre e .
Já o produto vetorial entre dois vetores resulta em outro vetor, perpendicular aos dois vetores iniciais, e sua magnitude é dada por:
Passo 3
Agora, o produto misto é o produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois vetores. Matemáticamente, é representado por:
Este valor representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
Passo 4
Uma propriedade importante do produto misto é que ele é invariante sob permutações cíclicas dos vetores, mas muda de sinal se a permutação não for cíclica. Ou seja:
E, por isso, quando tomamos o valor absoluto, essas igualdades se mantêm, já que o sinal não importa.
Passo 5
Vamos aplicar essa propriedade ao exercício. Queremos mostrar que:
Usando a invariança do produto misto sob permutações cíclicas e sabendo que o valor absoluto elimina o efeito das mudanças de sinal, todas essas expressões terão o mesmo valor.