(b) Se u, v e w são vetores no espaço, então
|u cdot(v times w)|=|v cdot(u times w)|=|w cdot(v times u)|=|v cdot(w times u)|.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem três vetores no espaço, chamados de u, v e w. O enunciado quer que a gente mostre que o valor absoluto do produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois é igual, independente da ordem dos vetores dentro do produto vetorial. Isso envolve conceitos de produto escalar, produto vetorial e produto misto na matéria de Álgebra Vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são produto escalar e produto vetorial. O produto escalar entre dois vetores resulta em um número (escalar) e é calculado como:
a cdot b = |a| |b| cos(theta)
onde theta é o ângulo entre a e b.
Já o produto vetorial entre dois vetores resulta em outro vetor, perpendicular aos dois vetores iniciais, e sua magnitude é dada por:
|a times b| = |a| |b| sin(theta)

Passo 3

Agora, o produto misto é o produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois vetores. Matemáticamente, é representado por:
u cdot (v times w)
Este valor representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 4

Uma propriedade importante do produto misto é que ele é invariante sob permutações cíclicas dos vetores, mas muda de sinal se a permutação não for cíclica. Ou seja:
u cdot (v times w) = v cdot (w times u) = w cdot (u times v)
E, por isso, quando tomamos o valor absoluto, essas igualdades se mantêm, já que o sinal não importa.

Passo 5

Vamos aplicar essa propriedade ao exercício. Queremos mostrar que:
|u cdot (v times w)| = |v cdot (u times w)| = |w cdot (v times u)| = |v cdot (w times u)|
Usando a invariança do produto misto sob permutações cíclicas e sabendo que o valor absoluto elimina o efeito das mudanças de sinal, todas essas expressões terão o mesmo valor.

Resposta

Portanto, mostramos que:
|u cdot (v times w)| = |v cdot (u times w)| = |w cdot (v times u)| = |v cdot (w times u)|

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