(b) Se e são vetores no espaço, então
.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem três vetores no espaço, chamados de , e . O enunciado quer que a gente mostre que o valor absoluto do produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois é igual, independente da ordem dos vetores dentro do produto vetorial. Isso envolve conceitos de produto escalar, produto vetorial e produto misto na matéria de Álgebra Vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são produto escalar e produto vetorial. O produto escalar entre dois vetores resulta em um número (escalar) e é calculado como:
onde é o ângulo entre e .
Já o produto vetorial entre dois vetores resulta em outro vetor, perpendicular aos dois vetores iniciais, e sua magnitude é dada por:

Passo 3

Agora, o produto misto é o produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois vetores. Matemáticamente, é representado por:
Este valor representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 4

Uma propriedade importante do produto misto é que ele é invariante sob permutações cíclicas dos vetores, mas muda de sinal se a permutação não for cíclica. Ou seja:
E, por isso, quando tomamos o valor absoluto, essas igualdades se mantêm, já que o sinal não importa.

Passo 5

Vamos aplicar essa propriedade ao exercício. Queremos mostrar que:
Usando a invariança do produto misto sob permutações cíclicas e sabendo que o valor absoluto elimina o efeito das mudanças de sinal, todas essas expressões terão o mesmo valor.

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Dadas as matrizes e , calcule os seguintes determinantes:
©
Calcule e utilizando operações elementares;
Dadas as matrizes e , calcule os seguintes determinantes:
(d)
Dadas as matrizes e , calcule os seguintes determinantes:
(e)