Dadas as matrizes e , calcule os seguintes determinantes:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve determinantes de matrizes. A gente tem três matrizes dadas: , e . A pergunta é para calcular o determinante de multiplicado pela transposta de , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender algumas propriedades de determinantes e como calcular determinantes de matrizes 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas. Então, é a matriz transposta de . Depois, uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Em outras palavras:
E também sabemos que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original:
Portanto, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular . A matriz é:
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Calculando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos calcular . A matriz é:
Observando a matriz , percebemos que as linhas são múltiplos entre si, o que indica que o determinante será zero. Mas vamos confirmar calculando:
Calculando cada termo:

Resposta

Portanto, o determinante de é:

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Dadas as matrizes e , calcule os seguintes determinantes:
(d)
(b) Se e são vetores no espaço, então
.
Para cada um dos casos abaixo, encontre equações paramétricas e equações simétricas para a reta :
A reta tem vetor diretor e passa pelo ponto .
Sejam . Mostre que e são subespaços de e que .