Dadas as matrizes A=[ccc2 & 1 & 0 -3 & 1 & 4 1 & 6 & 5], B=[ccc4 & 3 & 7 -1 & 0 & 2 3 & 1 & -4] e C=[ccc2 & 3 & -1 6 & 9 & -2 8 & 12 & -3], calcule os seguintes determinantes:
(e) A(C)^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve determinantes de matrizes. A gente tem três matrizes dadas: A, B e C. A pergunta é para calcular o determinante de A multiplicado pela transposta de C, ou seja, det(A cdot C^t). Para isso, vamos precisar entender algumas propriedades de determinantes e como calcular determinantes de matrizes 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas. Então, C^t é a matriz transposta de C. Depois, uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Em outras palavras:
det(A cdot C^t) = det(A) cdot det(C^t)
E também sabemos que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original:
det(C^t) = det(C)
Portanto, a expressão fica:
det(A cdot C^t) = det(A) cdot det(C)

Passo 3

Agora, vamos calcular det(A). A matriz A é:
A = 2 & 1 & 0 -3 & 1 & 4 1 & 6 & 5
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = 2 cdot 1 cdot 5 + 1 cdot 4 cdot 1 + 0 cdot (-3) cdot 6 - 0 cdot 1 cdot 1 - 1 cdot (-3) cdot 5 - 2 cdot 4 cdot 6
Calculando cada termo:
= 2 cdot 1 cdot 5 + 1 cdot 4 cdot 1 + 0 - 0 - (1 cdot -3 cdot 5) - (2 cdot 4 cdot 6) = 10 + 4 + 0 - 0 + 15 - 48 = 10 + 4 + 15 - 48 = 29 - 48 = -19

Passo 4

Agora, vamos calcular det(C). A matriz C é:
C = 2 & 3 & -1 6 & 9 & -2 8 & 12 & -3
Observando a matriz C, percebemos que as linhas são múltiplos entre si, o que indica que o determinante será zero. Mas vamos confirmar calculando:
det(C) = 2 cdot 9 cdot (-3) + 3 cdot (-2) cdot 8 + (-1) cdot 6 cdot 12 - (-1) cdot 9 cdot 8 - 3 cdot 6 cdot (-3) - 2 cdot (-2) cdot 12
Calculando cada termo:
= 2 cdot 9 cdot (-3) + 3 cdot (-2) cdot 8 + (-1) cdot 6 cdot 12 - (-1) cdot 9 cdot 8 - 3 cdot 6 cdot (-3) - 2 cdot (-2) cdot 12 = -54 - 48 - 72 + 72 + 54 + 48 = (-54 - 48 - 72) + (72 + 54 + 48) = -174 + 174 = 0

Resposta

Portanto, o determinante de A cdot C^t é:
det(A cdot C^t) = det(A) cdot det(C) = (-19) cdot 0 = 0

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