Calcule A^-1 e B^-1 utilizando operações elementares;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema que pede para calcular as inversas das matrizes e usando operações elementares. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e inversas. Para isso, vamos precisar saber como aplicar operações elementares em matrizes para obter a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em encontrar . O método que vamos usar envolve criar uma matriz aumentada com e a matriz identidade , e então aplicar operações elementares até que se transforme em . As mesmas operações que fizemos em serão aplicadas a , que se transformará na inversa .

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada a & b & | & 1 & 0 c & d & | & 0 & 1 . Suponha que seja uma matriz 2x2 para simplificar:

Passo 4

Agora, vamos usar operações de linha para transformar a parte esquerda em 1 & ba & | & 1a & 0 c & d & | & 0 & 1 . Primeiro, vamos fazer o elemento ser 1 dividindo a primeira linha por :

Passo 5

Em seguida, vamos zerar o elemento 1 & ba & | & 1a & 0 0 & d - c(ba) & | & -ca & 1 abaixo do 1 que está no canto superior esquerdo. Para isso, subtraímos vezes a primeira linha da segunda linha:

Passo 6

Agora, vamos fazer com que o elemento na posição (2,2) seja 1 dividindo a segunda linha por 1 & ba & | & 1a & 0 0 & 1 & | & -ca(d - b ca) & 1d - b ca :

Passo 7

Por fim, vamos zerar o elemento acima do 1 na segunda coluna. Subtraímos 1 & 0 & | & 1a - ba cdot -ca(d - b ca) & 0 - ba cdot 1d - b ca 0 & 1 & | & -ca(d - b ca) & 1d - b ca vezes a segunda linha da primeira linha:

Passo 8

Agora, a parte da esquerda é a matriz identidade A^-1 = dad - bc & -bad - bc -cad - bc & aad - bc , e a parte da direita é a inversa :

Passo 9

Repetimos o mesmo processo para a matriz . Montamos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares até transformar em . As operações aplicadas em transformarão em .

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = dad - bc & -bad - bc -cad - bc & aad - bc é:
E a inversa da matriz pode ser calculada seguindo os mesmos passos acima, aplicando operações elementares na matriz aumentada .

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