Dadas as matrizes e , calcule os seguintes determinantes:
©

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes juntos! A gente tem três matrizes:
E o que a gente precisa fazer é calcular o determinante de . Vamos usar conceitos de matrizes transpostas e propriedades dos determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa e . A letra indica a matriz transposta. Ou seja, é a transposta da matriz e é a transposta da matriz . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar de uma propriedade importante dos determinantes: o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original. Matemáticamente, isso é:
Então, podemos simplificar para .

Passo 4

Além disso, outra propriedade dos determinantes é que o determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes individuais. Ou seja:
Então, nossa expressão original se transforma em . Mas aqui, multiplicamos um escalar (determinante) por uma matriz, o que não é comum no contexto de determinantes. Na verdade, provavelmente queremos calcular .

Passo 5

Assumindo que queremos calcular , usamos novamente a propriedade que o determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes:

Passo 6

Agora, vamos calcular os determinantes individuais das matrizes , e .
Primeiro, calculamos :
Usamos a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos expandir pela primeira linha:
Calculando os menores:
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Expandindo pela primeira linha:
Calculando os menores:
Então:

Passo 8

Por último, vamos calcular :
Observando a matriz , percebemos que a segunda linha é 3 vezes a primeira linha e a terceira linha é 4 vezes a primeira linha. Isso significa que as linhas são lineares dependentes, o que implica que o determinante é zero.
Formalmente, usando a regra de Sarrus ou a expansão, veremos que:

Resposta

Portanto, o determinante é:
Resposta Final: O determinante é igual a 0.

Exercícios relacionados

Calcule e utilizando operações elementares;
Dadas as matrizes e , calcule os seguintes determinantes:
(b)
(b) Se e são vetores no espaço, então
.
Dadas as matrizes e , calcule os seguintes determinantes:
(d)