Dadas as matrizes A=[ccc2 & 1 & 0 -3 & 1 & 4 1 & 6 & 5], B=[ccc4 & 3 & 7 -1 & 0 & 2 3 & 1 & -4] e C=[ccc2 & 3 & -1 6 & 9 & -2 8 & 12 & -3], calcule os seguintes determinantes:
© det(B^t A^t) C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes juntos! A gente tem três matrizes:
A = 2 & 1 & 0 -3 & 1 & 4 1 & 6 & 5 , B = 4 & 3 & 7 -1 & 0 & 2 3 & 1 & -4 , C = 2 & 3 & -1 6 & 9 & -2 8 & 12 & -3
E o que a gente precisa fazer é calcular o determinante de . Vamos usar conceitos de matrizes transpostas e propriedades dos determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa e . A letra indica a matriz transposta. Ou seja, é a transposta da matriz e é a transposta da matriz . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar de uma propriedade importante dos determinantes: o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original. Matemáticamente, isso é:
det(B^t) = det(B) e det(A^t) = det(A)
Então, podemos simplificar para .

Passo 4

Além disso, outra propriedade dos determinantes é que o determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes individuais. Ou seja:
det(B^t A^t) = det(B^t) cdot det(A^t) = det(B) cdot det(A)
Então, nossa expressão original se transforma em . Mas aqui, multiplicamos um escalar (determinante) por uma matriz, o que não é comum no contexto de determinantes. Na verdade, provavelmente queremos calcular .

Passo 5

Assumindo que queremos calcular det(B^t A^t C) = det(B^t) cdot det(A^t) cdot det(C) = det(B) cdot det(A) cdot det(C) , usamos novamente a propriedade que o determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes:

Passo 6

Agora, vamos calcular os determinantes individuais das matrizes A = 2 & 1 & 0 -3 & 1 & 4 1 & 6 & 5 , det(A) = 2 cdot 1 & 4 6 & 5 - 1 cdot -3 & 4 1 & 5 + 0 cdot -3 & 1 1 & 6 e 1 & 4 6 & 5 = (1)(5) - (4)(6) = 5 - 24 = -19 .
Primeiro, calculamos -3 & 4 1 & 5 = (-3)(5) - (4)(1) = -15 - 4 = -19 :
det(A) = 2(-19) - 1(-19) + 0 = -38 + 19 = -19
Usamos a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos expandir pela primeira linha:
Calculando os menores:
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular B = 4 & 3 & 7 -1 & 0 & 2 3 & 1 & -4 :
det(B) = 4 cdot 0 & 2 1 & -4 - 3 cdot -1 & 2 3 & -4 + 7 cdot -1 & 0 3 & 1
Expandindo pela primeira linha:
0 & 2 1 & -4 = (0)(-4) - (2)(1) = 0 - 2 = -2
Calculando os menores:
-1 & 2 3 & -4 = (-1)(-4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2
-1 & 0 3 & 1 = (-1)(1) - (0)(3) = -1 - 0 = -1
det(B) = 4(-2) - 3(-2) + 7(-1) = -8 + 6 - 7 = -9
Então:

Passo 8

Por último, vamos calcular C = 2 & 3 & -1 6 & 9 & -2 8 & 12 & -3 :
det(C) = 0
Observando a matriz , percebemos que a segunda linha é 3 vezes a primeira linha e a terceira linha é 4 vezes a primeira linha. Isso significa que as linhas são lineares dependentes, o que implica que o determinante é zero.
Formalmente, usando a regra de Sarrus ou a expansão, veremos que:

Resposta

Portanto, o determinante det(B) cdot det(A) cdot det(C) = (-9) cdot (-19) cdot 0 = 0 é:
Resposta Final: O determinante é igual a 0.

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