Utilizando as técnicas de integração de funções racionais e de integrais imediatas, calcule: integral 3 xx^2-3 x+2 d x Resp.: ln ((x-2)^6(x-1)^3)+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! Temos que calcular:
integral 3xx^2 - 3x + 2 , dx
Esse problema faz parte do conteúdo de integração de funções racionais. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar a fração antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, precisamos fatorar o denominador da fração. Olhando para x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) , queremos encontrar dois números que multiplicados dão 2 e que somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 3x(x - 1)(x - 2) = Ax - 1 + Bx - 2 em frações parciais. Queremos encontrar constantes 3x = A(x - 2) + B(x - 1) e 3(1) = A(1 - 2) + B(1 - 1) 3 = -A A = -3 tais que:
3(2) = A(2 - 2) + B(2 - 1) 6 = B B = 6
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum 3x(x - 1)(x - 2) = -3x - 1 + 6x - 2 , temos:
Vamos resolver para e :
  • Escolhendo :
  • Escolhendo :
Então, a decomposição fica:

Passo 4

Com a fração já decomposta, podemos integrar cada termo separadamente:
integral -3x - 1 , dx + integral 6x - 2 , dx
Sabemos que a integral de -3 ln|x - 1| + 6 ln|x - 2| + C é . Aplicando isso:

Resposta

ln ((x-2)^6(x-1)^3) + C

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