Utilizando as técnicas de integração de funções racionais e de integrais imediatas, calcule:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! Temos que calcular:
Esse problema faz parte do conteúdo de integração de funções racionais. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar a fração antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, precisamos fatorar o denominador da fração. Olhando para
, queremos encontrar dois números que multiplicados dão 2 e que somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
, temos:
Vamos resolver para
e
:
-
Escolhendo
: -
Escolhendo
:
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Com a fração já decomposta, podemos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que a integral de
é
. Aplicando isso: