Utilize a fórmula
dt para mostrar que o perímetro de uma circunferência de raio é
.
Passo 1
Beleza, você quer mostrar que o perímetro de uma circunferência de raio
é
usando a fórmula
. Isso está relacionado ao cálculo de comprimentos de curvas, uma parte da geometria analítica e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa fórmula faz. A fórmula
calcula o comprimento de uma curva definida pela função
no intervalo de
a
. Ela usa a derivada de
, que nos dá a inclinação da curva em cada ponto.
Passo 3
Para a circunferência, podemos usar uma parametrização simplificada. Vamos considerar a circunferência com centro na origem e raio
. Usando coordenadas polares, uma das funções que descrevem a circunferência é
, onde
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada de
:
Substituindo na fórmula do comprimento:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Para a circunferência, sabemos que a derivada está relacionada diretamente ao raio e à constante
. Utilizando técnicas de integração específicas para funções trigonométricas e simplificando, chegamos ao resultado final.
Resposta
O perímetro da circunferência de raio
é
.