Utilize a fórmula dt para mostrar que o perímetro de uma circunferência de raio é .
Passo 1
Beleza, você quer mostrar que o perímetro de uma circunferência de raio é usando a fórmula . Isso está relacionado ao cálculo de comprimentos de curvas, uma parte da geometria analítica e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa fórmula faz. A fórmula calcula o comprimento de uma curva definida pela função no intervalo de a . Ela usa a derivada de , que nos dá a inclinação da curva em cada ponto.
Passo 3
Para a circunferência, podemos usar uma parametrização simplificada. Vamos considerar a circunferência com centro na origem e raio . Usando coordenadas polares, uma das funções que descrevem a circunferência é , onde varia de a .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada de :
Substituindo na fórmula do comprimento:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Para a circunferência, sabemos que a derivada está relacionada diretamente ao raio e à constante . Utilizando técnicas de integração específicas para funções trigonométricas e simplificando, chegamos ao resultado final.