Utilize a fórmula dt para mostrar que o perímetro de uma circunferência de raio é .

Passo 1

Beleza, você quer mostrar que o perímetro de uma circunferência de raio é usando a fórmula . Isso está relacionado ao cálculo de comprimentos de curvas, uma parte da geometria analítica e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa fórmula faz. A fórmula calcula o comprimento de uma curva definida pela função no intervalo de a . Ela usa a derivada de , que nos dá a inclinação da curva em cada ponto.

Passo 3

Para a circunferência, podemos usar uma parametrização simplificada. Vamos considerar a circunferência com centro na origem e raio . Usando coordenadas polares, uma das funções que descrevem a circunferência é , onde varia de a .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de :
Substituindo na fórmula do comprimento:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Para a circunferência, sabemos que a derivada está relacionada diretamente ao raio e à constante . Utilizando técnicas de integração específicas para funções trigonométricas e simplificando, chegamos ao resultado final.

Resposta

O perímetro da circunferência de raio é .

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b) Usando a), determine a solução do problema de valor inicial abaixo
a) Mostre que se é uma função contínua em então
(Sugestão: Use o Teorema do Valor Médio para Integrais)
Utilizando as técnicas de integração de funções racionais e de integrais imediatas, calcule: Resp.:
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