Utilize a fórmula s(x)=integrala^x raiz1+(f^prime(t))^2 dt para mostrar que o perímetro de uma circunferência de raio é 2 pi R.

Passo 1

Beleza, você quer mostrar que o perímetro de uma circunferência de raio é usando a fórmula . Isso está relacionado ao cálculo de comprimentos de curvas, uma parte da geometria analítica e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa fórmula faz. A fórmula calcula o comprimento de uma curva definida pela função no intervalo de a . Ela usa a derivada de , que nos dá a inclinação da curva em cada ponto.

Passo 3

Para a circunferência, podemos usar uma parametrização simplificada. Vamos considerar a circunferência com centro na origem e raio . Usando coordenadas polares, uma das funções que descrevem a circunferência é , onde varia de a .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de f^prime(t) = ddt [R sin(t)] = R cos(t) :
s(x) = integral0^2pi raiz1 + (R cos(t))^2 , dt
Substituindo na fórmula do comprimento:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz1 + R^2 cos^2(t)
Para a circunferência, sabemos que a derivada está relacionada diretamente ao raio e à constante . Utilizando técnicas de integração específicas para funções trigonométricas e simplificando, chegamos ao resultado final.

Resposta

O perímetro da circunferência de raio é .

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