(b) Usando a notação da parte (a), mostre que a equação de ondas
é invariante por uma TL especial, mas não é invariante por uma transformação de Galileu.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a equação de ondas
é invariante sob uma Transformação de Lorentz (TL) especial, mas não sob uma Transformação de Galileu. Isso está relacionado aos conceitos de relatividade e como diferentes transformações afetam as equações físicas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são essas transformações e aplicar cada uma na equação de ondas para ver se ela permanece a mesma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação de ondas ser invariante sob uma transformação. Invariante aqui quer dizer que, mesmo mudando de referencial (ou seja, mudando de sistema de coordenadas), a forma da equação continua a mesma. Isso é importante porque as leis da física devem ser as mesmas em todos os referenciais.
Passo 3
Vamos começar com a Transformação de Galileu. Essa transformação é a maneira clássica de mudar de referencial quando não estamos levando em conta os efeitos da relatividade. A transformação de Galileu para um referencial que se move com velocidade
na direção
é dada por:
Ou seja, apenas as coordenadas espaciais e o tempo mudam de forma simples, sem misturar espaço e tempo.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa transformação na equação de ondas. Substituindo
por
e
por
, precisamos recalcular as derivadas parciais
e
em termos de
e
.
Calculando as derivadas, veremos que os termos de tempo e espaço não se combinam de forma a manter a forma original da equação de ondas. Isso significa que a equação de ondas não permanece igual sob a Transformação de Galileu.
Passo 5
Agora, vamos para a Transformação de Lorentz (TL) especial. Diferente da Galileu, a TL mistura espaço e tempo de forma que a velocidade da luz
permanece constante em todos os referenciais. As transformações de Lorentz são dadas por:
onde
é o fator de Lorentz.
Passo 6
Aplicando a Transformação de Lorentz na equação de ondas, recalculamos as derivadas parciais
e
em termos de
e
. Devido à forma específica das transformações de Lorentz, os termos de espaço e tempo se combinam de maneira que a forma da equação de ondas é mantida.
Isso mostra que a equação de ondas é invariante sob Transformações de Lorentz, ou seja, sua forma não muda quando mudamos para um referencial que se move a uma velocidade constante qualquer relativa ao primeiro.
Passo 7
Resumindo, vimos que ao aplicar a Transformação de Galileu na equação de ondas, a forma da equação não é preservada, ou seja, ela não é invariante sob essa transformação. Por outro lado, a Transformação de Lorentz especial preserva a forma da equação de ondas, tornando-a invariante.
Resposta
Portanto, demonstramos que a equação de ondas
é invariante sob uma Transformação de Lorentz especial, mas não é invariante sob uma Transformação de Galileu.
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