Em uma linha de produção de certa fábrica, determinada peça é produzida em três máquinas A, B, C. A máquina A, por ser mais nova, é responsável por 0,60 da produção, a B por 0,20 e a C o restante. Observou-se que a proporção de itens com defeito produzidos por A é de 0,005 , por B é 0,03 e por Cé 0,07 .
Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina: A ? B ? C ?
Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina: A ? B ? C ?
Passo 1
Então, vamos lá! O problema fala sobre uma fábrica que produz peças utilizando três máquinas: A, B e C. A máquina A é responsável por 60% da produção, a B por 20%, e a C também por 20% (já que o restante da produção deve ser 100% - 60% - 20% = 20%). Além disso, sabemos que a taxa de defeito para cada máquina é diferente: A tem 0,5% de defeitos, B tem 3% e C tem 7%. Queremos descobrir, se uma peça defeituosa é encontrada, qual a probabilidade dela ter sido produzida por cada uma dessas máquinas. Vamos usar a Teoria da Probabilidade, mais especificamente o Teorema de Bayes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as probabilidades que já conhecemos:
- P(A) = 0,60 (probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina A)
- P(B) = 0,20 (probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina B)
- P© = 0,20 (probabilidade de uma peça ser produzida pela máquina C)
Também sabemos as taxas de defeito:
- P(D|A) = 0,005 (probabilidade da peça ser defeituosa dado que foi produzida por A)
- P(D|B) = 0,03 (probabilidade da peça ser defeituosa dado que foi produzida por B)
- P(D|C) = 0,07 (probabilidade da peça ser defeituosa dado que foi produzida por C)
Passo 3
Agora, precisamos calcular a probabilidade total de uma peça ser defeituosa, independente de qual máquina a produziu. Isso é feito usando a Regra da Probabilidade Total:
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos calcular cada termo separadamente:
- $ 0,005 \times 0,60 = 0,003 $
- $ 0,03 \times 0,20 = 0,006 $
- $ 0,07 \times 0,20 = 0,014 $
Somando tudo:
Então, a probabilidade total de uma peça ser defeituosa é 2,3%.
Passo 5
Agora, queremos saber a probabilidade de que uma peça defeituosa tenha sido produzida por cada máquina. Para isso, usamos o Teorema de Bayes:
Vamos calcular cada uma:
Para a máquina A:
Para a máquina B:
Para a máquina C:
Resposta
Se uma peça defeituosa é identificada, a probabilidade de ela ter sido produzida por:
- Máquina A: aproximadamente 13,04%
- Máquina B: aproximadamente 26,09%
- Máquina C: aproximadamente 60,87%