Obtenha as Transformações de Lorentz inversas x(x^prime, t^prime) a partir das Transformações de Lorentz diretas x^prime(x, t). Qual a interpretação física das expressões obtidas?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as Transformações de Lorentz inversas, ou seja, expressar e em função de e , partindo das Transformações de Lorentz diretas. Isso tudo faz parte da matéria de Relatividade Especial. Pra resolver, vamos precisar entender as transformações diretas e como inverter elas matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as Transformações de Lorentz diretas. Elas relacionam as coordenadas no referencial x' = gamma (x - vt) com as coordenadas no referencial t' = gamma (t - vc^2 x) que está se movendo com velocidade gamma = 1raiz1 - v^2c^2 em relação a . As fórmulas são:
Aqui, é o fator de Lorentz, dado por:

Passo 3

Para encontrar as transformações inversas, precisamos resolver essas equações para e em função de e . Isso significa isolar e nas equações acima.

Passo 4

Vamos começar resolvendo a primeira equação para x' = gamma (x - vt) :
x'gamma = x - vt
Podemos dividir ambos os lados por x = x'gamma + vt :
Rearranjando para :

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda equação para t' = gamma (t - vc^2 x) :
t'gamma = t - vc^2 x
Dividindo ambos os lados por t = t'gamma + vc^2 x :
Rearranjando para :

Passo 6

Agora, vamos substituir a expressão de t = t'gamma + vc^2 (x'gamma + vt) que encontramos no Passo 4 na equação de t = t'gamma + v x'gamma c^2 + v^2 tc^2 que obtivemos no Passo 5:
Simplificando:

Passo 7

Vamos isolar t (1 - v^2c^2) = t'gamma + v x'gamma c^2 . Primeiro, agrupando os termos com t cdot 1gamma^2 = t'gamma + v x'gamma c^2 :
t = gamma t' + gamma v x'c^2
Lembrando que , então:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Agora que temos x = x'gamma + v (gamma t' + gamma v x'c^2) em termos de x = x'gamma + gamma v t' + gamma v^2 x'c^2 e x = x' (1gamma + gamma v^2c^2) + gamma v t' , vamos substituir de volta na expressão que encontramos para x = gamma x' + gamma v t' no Passo 4:
Simplificando:
Fatorando :
Observando que :

Resposta

As Transformações de Lorentz inversas são:
x = gamma x' + gamma v t'
t = gamma t' + gamma vc^2 x'
Fisicamente, essas expressões representam como as coordenadas espaciais e temporais no referencial podem ser usadas para determinar as coordenadas no referencial , ou seja, elas descrevem a relação inversa das transformações de Lorentz diretas, considerando que se move com velocidade em relação a .

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