Obtenha as Transformações de Lorentz inversas
a partir das Transformações de Lorentz diretas
. Qual a interpretação física das expressões obtidas?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as Transformações de Lorentz inversas, ou seja, expressar
e
em função de
e
, partindo das Transformações de Lorentz diretas. Isso tudo faz parte da matéria de Relatividade Especial. Pra resolver, vamos precisar entender as transformações diretas e como inverter elas matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as Transformações de Lorentz diretas. Elas relacionam as coordenadas no referencial
com as coordenadas no referencial
que está se movendo com velocidade
em relação a
. As fórmulas são:
Aqui,
é o fator de Lorentz, dado por:
Passo 3
Para encontrar as transformações inversas, precisamos resolver essas equações para
e
em função de
e
. Isso significa isolar
e
nas equações acima.
Passo 4
Vamos começar resolvendo a primeira equação para
:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Rearranjando para
:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda equação para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Rearranjando para
:
Passo 6
Agora, vamos substituir a expressão de
que encontramos no Passo 4 na equação de
que obtivemos no Passo 5:
Simplificando:
Passo 7
Vamos isolar
. Primeiro, agrupando os termos com
:
Lembrando que
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Agora que temos
em termos de
e
, vamos substituir de volta na expressão que encontramos para
no Passo 4:
Simplificando:
Fatorando
:
Observando que
:
Resposta
As Transformações de Lorentz inversas são:
Fisicamente, essas expressões representam como as coordenadas espaciais e temporais no referencial
podem ser usadas para determinar as coordenadas no referencial
, ou seja, elas descrevem a relação inversa das transformações de Lorentz diretas, considerando que
se move com velocidade
em relação a
.
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