Obtenha as Transformações de Lorentz inversas a partir das Transformações de Lorentz diretas . Qual a interpretação física das expressões obtidas?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as Transformações de Lorentz inversas, ou seja, expressar e em função de e , partindo das Transformações de Lorentz diretas. Isso tudo faz parte da matéria de Relatividade Especial. Pra resolver, vamos precisar entender as transformações diretas e como inverter elas matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as Transformações de Lorentz diretas. Elas relacionam as coordenadas no referencial com as coordenadas no referencial que está se movendo com velocidade em relação a . As fórmulas são:
Aqui, é o fator de Lorentz, dado por:

Passo 3

Para encontrar as transformações inversas, precisamos resolver essas equações para e em função de e . Isso significa isolar e nas equações acima.

Passo 4

Vamos começar resolvendo a primeira equação para :
Podemos dividir ambos os lados por :
Rearranjando para :

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda equação para :
Dividindo ambos os lados por :
Rearranjando para :

Passo 6

Agora, vamos substituir a expressão de que encontramos no Passo 4 na equação de que obtivemos no Passo 5:
Simplificando:

Passo 7

Vamos isolar . Primeiro, agrupando os termos com :
Lembrando que , então:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Agora que temos em termos de e , vamos substituir de volta na expressão que encontramos para no Passo 4:
Simplificando:
Fatorando :
Observando que :

Resposta

As Transformações de Lorentz inversas são:
Fisicamente, essas expressões representam como as coordenadas espaciais e temporais no referencial podem ser usadas para determinar as coordenadas no referencial , ou seja, elas descrevem a relação inversa das transformações de Lorentz diretas, considerando que se move com velocidade em relação a .

Exercícios relacionados

Utilizando os postulados propostos por Einstein, encontre as expressões das transformadas de Lorentz para e t
Para o modelo de um grau de liberdade, obtenha a frequência natural não amortecida.
(b) Usando a notação da parte (a), mostre que a equação de ondas
é invariante por uma TL especial, mas não é invariante por uma transformação de Galileu.