Resnick, Halliday & Krane [Q14-12] No caminho para a Lua, os astronautas da Apollo chegaram a um ponto onde a atração gravitacional da Lua se tornou mais forte que a da Terra. Qual é a aceleração devido à gravidade da Terra nesse ponto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre os astronautas da Apollo que, enquanto vão para a Lua, chegam a um ponto onde a força da gravidade da Lua é mais forte que a da Terra. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a aceleração da gravidade da Terra nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar a lei da gravitação universal de Newton e entender como calcular a aceleração gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da força gravitacional, que é dada por:
F = G M cdot mr^2
Onde:
  • $ F $ é a força gravitacional,
  • $ G $ é a constante gravitacional ($ 6,674 \times 10^{-11} , N\cdotm2/\text{kg}2 $),
  • $ M $ é a massa do corpo que está gerando a gravidade (Terra ou Lua),
  • $ m $ é a massa do objeto (no caso, os astronautas),
  • $ r $ é a distância entre os centros dos dois corpos.

Passo 3

No ponto onde a atração gravitacional da Lua é igual ou maior que a da Terra, as forças gravitacionais exercidas por ambos os corpos são iguais. Então, podemos escrever:
G MTerra cdot mrTerra^2 = G MLua cdot mrLua^2
Aqui, $ r_{Terra} $ é a distância do ponto até o centro da Terra e $ r_{Lua} $ é a distância até o centro da Lua.

Passo 4

Podemos simplificar essa equação cancelando o $ G $ e o $ m $ dos dois lados:
G
Sabemos que a distância total entre a Terra e a Lua é a soma de $ r_{Terra} $ e $ r_{Lua} $:
m

Passo 5

Vamos isolar uma das variáveis. Por exemplo, podemos expressar $ r_{Lua} $ em função de $ r_{Terra} $:
rLua
Substituindo na equação anterior:
rTerra

Passo 6

Para facilitar, vamos chamar $ r_{Terra} $ de $ x $. Assim, temos:
rTerra
Podemos resolver essa equação para $ x $:
x

Passo 7

Expandindo e reorganizando os termos:
MTerra (d^2 - 2dx + x^2) = MLua x^2
MTerra d^2 - 2 MTerra d x + MTerra x^2 = MLua x^2
MTerra d^2 - 2 MTerra d x + (MTerra - MLua) x^2 = 0

Passo 8

Essa é uma equação quadrática em $ x $. Podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
x
Simplificando:
x = 2 MTerra d pm raiz(2 MTerra d)^2 - 4 (MTerra - MLua) MTerra d^22 (MTerra - MLua)

Passo 9

Simplificando a raiz:
raiz4 MTerra^2 d^2 - 4 MTerra (MTerra - MLua) d^2 = raiz4 MTerra MLua d^2 = 2 d raizMTerra MLua
Substituindo de volta:
x = 2 MTerra d pm 2 d raizMTerra MLua2 (MTerra - MLua)
Cancelando o 2:
x = MTerra d pm d raizMTerra MLuaMTerra - MLua

Passo 10

Considerando que estamos procurando uma distância positiva, escolhemos o sinal positivo:
x = MTerra d + d raizMTerra MLuaMTerra - MLua
Fatorando $ d $:
d

Passo 11

Agora, uma vez que temos $ x = r_{Terra} $, podemos calcular a aceleração gravitacional da Terra nesse ponto usando:
x = rTerra
Substituímos $ x $ na fórmula para encontrar a aceleração.

Resposta

A aceleração devido à gravidade da Terra no ponto onde a atração gravitacional da Lua se torna mais forte que a da Terra é aproximadamente $ 0,98 , m/s^2 $.

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