Resnick, Halliday & Krane [Q14-12] No caminho para a Lua, os astronautas da Apollo chegaram a um ponto onde a atração gravitacional da Lua se tornou mais forte que a da Terra. Qual é a aceleração devido à gravidade da Terra nesse ponto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre os astronautas da Apollo que, enquanto vão para a Lua, chegam a um ponto onde a força da gravidade da Lua é mais forte que a da Terra. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a aceleração da gravidade da Terra nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar a lei da gravitação universal de Newton e entender como calcular a aceleração gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da força gravitacional, que é dada por:
Onde:
- $ F $ é a força gravitacional,
- $ G $ é a constante gravitacional ($ 6,674 \times 10^{-11} , N\cdotm2/\text{kg}2 $),
- $ M $ é a massa do corpo que está gerando a gravidade (Terra ou Lua),
- $ m $ é a massa do objeto (no caso, os astronautas),
- $ r $ é a distância entre os centros dos dois corpos.
Passo 3
No ponto onde a atração gravitacional da Lua é igual ou maior que a da Terra, as forças gravitacionais exercidas por ambos os corpos são iguais. Então, podemos escrever:
Aqui, $ r_{Terra} $ é a distância do ponto até o centro da Terra e $ r_{Lua} $ é a distância até o centro da Lua.
Passo 4
Podemos simplificar essa equação cancelando o $ G $ e o $ m $ dos dois lados:
Sabemos que a distância total entre a Terra e a Lua é a soma de $ r_{Terra} $ e $ r_{Lua} $:
Passo 5
Vamos isolar uma das variáveis. Por exemplo, podemos expressar $ r_{Lua} $ em função de $ r_{Terra} $:
Substituindo na equação anterior:
Passo 6
Para facilitar, vamos chamar $ r_{Terra} $ de $ x $. Assim, temos:
Podemos resolver essa equação para $ x $:
Passo 7
Expandindo e reorganizando os termos:
Passo 8
Essa é uma equação quadrática em $ x $. Podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Passo 9
Simplificando a raiz:
Substituindo de volta:
Cancelando o 2:
Passo 10
Considerando que estamos procurando uma distância positiva, escolhemos o sinal positivo:
Fatorando $ d $:
Passo 11
Agora, uma vez que temos $ x = r_{Terra} $, podemos calcular a aceleração gravitacional da Terra nesse ponto usando:
Substituímos $ x $ na fórmula para encontrar a aceleração.
Resposta
A aceleração devido à gravidade da Terra no ponto onde a atração gravitacional da Lua se torna mais forte que a da Terra é aproximadamente $ 0,98 , m/s^2 $.