(b) Usando o polinômio de Taylor para
, substitua
para obter uma aproximação para
. Compare o resultado com (a).
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos usar o polinômio de Taylor para a função
e substituir
para encontrar uma aproximação para
. Isso envolve entender a série de Taylor da função exponencial e como aplicar substituições para obter a aproximação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é o polinômio de Taylor para a função
centrado em
. A série de Taylor para
é:
Essa série nos dá uma maneira de aproximar
usando polinômios de grau cada vez maior.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na série de Taylor que acabamos de escrever. Fazendo isso, obtemos:
Passo 4
Vamos simplificar os termos da série após a substituição:
Isso nos dá uma aproximação de
usando o polinômio de Taylor.
Resposta
A aproximação para
usando o polinômio de Taylor é:
Exercícios relacionados
Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de
de grau
para as seguintes funções:
(b)
(b)
Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto
para as seguintes funções:
©
©
Encontre um limitante superior para o erro ao aproximar
, para
, pelo polinômio de Taylor de grau 3 expandido em torno de
.
(opcional) Para
, encontre a aproximação por polinômio de Taylor que garante um erro menor do que
para todo
. Usando esta aproximação, escreva um programa que calcule
. Compare o resultado de sua função com o resultado da função
da linguagem de programação que você utiliza.