(b) Usando o polinômio de Taylor para , substitua para obter uma aproximação para . Compare o resultado com (a).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos usar o polinômio de Taylor para a função e substituir para encontrar uma aproximação para . Isso envolve entender a série de Taylor da função exponencial e como aplicar substituições para obter a aproximação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é o polinômio de Taylor para a função centrado em . A série de Taylor para é:
Essa série nos dá uma maneira de aproximar usando polinômios de grau cada vez maior.

Passo 3

Agora, vamos substituir na série de Taylor que acabamos de escrever. Fazendo isso, obtemos:

Passo 4

Vamos simplificar os termos da série após a substituição:
Isso nos dá uma aproximação de usando o polinômio de Taylor.

Resposta

A aproximação para usando o polinômio de Taylor é:

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Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de de grau para as seguintes funções:
(b)
Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto para as seguintes funções:
©
Encontre um limitante superior para o erro ao aproximar , para , pelo polinômio de Taylor de grau 3 expandido em torno de .
(opcional) Para , encontre a aproximação por polinômio de Taylor que garante um erro menor do que para todo . Usando esta aproximação, escreva um programa que calcule . Compare o resultado de sua função com o resultado da função da linguagem de programação que você utiliza.