Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto a para as seguintes funções:
© f(x) = e^(cos(x)), a = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os polinômios de Taylor de grau linear e quadrático para a função em torno do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e a ideia de aproximação de funções por polinômios. Vamos precisar calcular as derivadas da função no ponto para construir os polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Isso é bem direto:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de . A função é , então usamos a regra da cadeia:
Agora, avaliamos no ponto :
Então, .

Passo 4

Vamos para a segunda derivada de . Começamos com . Aplicando a regra do produto e da cadeia:
Simplificando:
Agora, avaliamos no ponto :
Então, .

Resposta

O polinômio de Taylor linear é:
E o polinômio de Taylor quadrático é:

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