Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto para as seguintes funções:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os polinômios de Taylor de grau linear e quadrático para a função em torno do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e a ideia de aproximação de funções por polinômios. Vamos precisar calcular as derivadas da função no ponto para construir os polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Isso é bem direto:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de . A função é , então usamos a regra da cadeia:
Agora, avaliamos no ponto :
Então, .

Passo 4

Vamos para a segunda derivada de . Começamos com . Aplicando a regra do produto e da cadeia:
Simplificando:
Agora, avaliamos no ponto :
Então, .

Resposta

O polinômio de Taylor linear é:
E o polinômio de Taylor quadrático é:

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Determine um valor de suficiente para que , para , onde é o polinômio de Taylor expandido em torno de .
Use o polinômio de Taylor para mostrar que
para inteiro e onde é o coeficiente binomial.
Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de de grau para as seguintes funções:
(b)
(b) Usando o polinômio de Taylor para , substitua para obter uma aproximação para . Compare o resultado com (a).