Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto
para as seguintes funções:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os polinômios de Taylor de grau linear e quadrático para a função
em torno do ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e a ideia de aproximação de funções por polinômios. Vamos precisar calcular as derivadas da função no ponto
para construir os polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
. Isso é bem direto:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de
. A função é
, então usamos a regra da cadeia:
Agora, avaliamos no ponto
:
Então,
.
Passo 4
Vamos para a segunda derivada de
. Começamos com
. Aplicando a regra do produto e da cadeia:
Simplificando:
Agora, avaliamos no ponto
:
Então,
.
Resposta
O polinômio de Taylor linear é:
E o polinômio de Taylor quadrático é:
Exercícios relacionados
Determine um valor de
suficiente para que
, para
, onde
é o polinômio de Taylor expandido em torno de
.
Use o polinômio de Taylor para mostrar que
para
inteiro e onde
é o coeficiente binomial.
Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de
de grau
para as seguintes funções:
(b)
(b)
(b) Usando o polinômio de Taylor para
, substitua
para obter uma aproximação para
. Compare o resultado com (a).