Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de a = 0 de grau n para as seguintes funções:
(b) raiz(1 + x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau n para a função raiz(1 + x), expandido em torno de a = 0 (que é a série de Maclaurin). Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula geral do polinômio de Taylor e saber como calcular as derivadas da função raiz(1 + x).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de grau n para uma função f(x) em torno de a = 0 é dado por:
Aqui, representa a k-ésima derivada de f avaliada em 0, e é o fatorial de k.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de . Primeiro, a função original:
A primeira derivada é:
A segunda derivada:
E assim por diante. Observamos um padrão nas derivadas, que nos ajudará a generalizar a fórmula.

Passo 4

Vamos generalizar a k-ésima derivada de f(x). Observando as derivadas anteriores, percebemos que:
Quando avaliamos em x = 0, temos:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do polinômio de Taylor:
Simplificando um pouco mais, reconhecemos que os coeficientes podem ser expressos usando combinações.

Passo 6

A gente consegue simplificar a expressão usando combinações binomiais. A fórmula final para o polinômio de Taylor de grau n para raiz(1 + x) é:
Onde é o coeficiente binomial generalizado, dado por:

Resposta

A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau n da função raiz(1 + x) em torno de a = 0 é:

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