Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de
de grau
para as seguintes funções:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau
para a função
, expandido em torno de
(que é a série de Maclaurin). Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula geral do polinômio de Taylor e saber como calcular as derivadas da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de grau
para uma função
em torno de
é dado por:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. Primeiro, a função original:
A primeira derivada é:
A segunda derivada:
E assim por diante. Observamos um padrão nas derivadas, que nos ajudará a generalizar a fórmula.
Passo 4
Vamos generalizar a
-ésima derivada de
. Observando as derivadas anteriores, percebemos que:
Quando avaliamos em
, temos:
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula do polinômio de Taylor:
Simplificando um pouco mais, reconhecemos que os coeficientes podem ser expressos usando combinações.
Passo 6
A gente consegue simplificar a expressão usando combinações binomiais. A fórmula final para o polinômio de Taylor de grau
para
é:
Onde
é o coeficiente binomial generalizado, dado por:
Resposta
A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau
da função
em torno de
é:
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Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto
para as seguintes funções:
©
©
Determine um valor de
suficiente para que
, para
, onde
é o polinômio de Taylor expandido em torno de
.
(b) Usando o polinômio de Taylor para
, substitua
para obter uma aproximação para
. Compare o resultado com (a).
Encontre um limitante superior para o erro ao aproximar
, para
, pelo polinômio de Taylor de grau 3 expandido em torno de
.