Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de de grau para as seguintes funções:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau para a função , expandido em torno de (que é a série de Maclaurin). Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula geral do polinômio de Taylor e saber como calcular as derivadas da função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de grau para uma função em torno de é dado por:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de . Primeiro, a função original:
A primeira derivada é:
A segunda derivada:
E assim por diante. Observamos um padrão nas derivadas, que nos ajudará a generalizar a fórmula.

Passo 4

Vamos generalizar a -ésima derivada de . Observando as derivadas anteriores, percebemos que:
Quando avaliamos em , temos:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do polinômio de Taylor:
Simplificando um pouco mais, reconhecemos que os coeficientes podem ser expressos usando combinações.

Passo 6

A gente consegue simplificar a expressão usando combinações binomiais. A fórmula final para o polinômio de Taylor de grau para é:
Onde é o coeficiente binomial generalizado, dado por:

Resposta

A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau da função em torno de é:

Exercícios relacionados

Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto para as seguintes funções:
©
Determine um valor de suficiente para que , para , onde é o polinômio de Taylor expandido em torno de .
(b) Usando o polinômio de Taylor para , substitua para obter uma aproximação para . Compare o resultado com (a).
Encontre um limitante superior para o erro ao aproximar , para , pelo polinômio de Taylor de grau 3 expandido em torno de .