Encontre um limitante superior para o erro ao aproximar
, para
, pelo polinômio de Taylor de grau 3 expandido em torno de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um limitante superior para o erro ao aproximar a função
no intervalo
usando o polinômio de Taylor de grau 3 expandido em torno de
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Taylor e a fórmula do resto de Lagrange que nos dá uma estimativa do erro dessa aproximação.
Passo 2
O polinômio de Taylor de grau 3 para
em torno de
é dado por:
Isso significa que estamos aproximando
por esse polinômio quando
está próximo de 0.
Passo 3
O erro dessa aproximação, também chamado de resto, pode ser estimado usando a fórmula do resto de Lagrange:
onde
está entre 0 e
, e
é o grau do polinômio de Taylor (no nosso caso, 3).
Passo 4
Para
, todas as derivadas são iguais a
, ou seja,
.
Portanto, o restante
fica:
Passo 5
Queremos encontrar um limitante superior para o erro no intervalo
. Sabemos que
é sempre positivo e atinge seu máximo em
dentro desse intervalo.
Então, temos:
Passo 6
Substituindo esse valor na expressão do resto, obtemos:
Calculando
, fica:
Passo 7
Como
, o valor de
é no máximo 1. Portanto:
Assim, o limitante superior para o erro é:
Resposta
O limitante superior para o erro é
.
Exercícios relacionados
(b) Usando o polinômio de Taylor para
, substitua
para obter uma aproximação para
. Compare o resultado com (a).
Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de
de grau
para as seguintes funções:
(b)
(b)
(opcional) Para
, encontre a aproximação por polinômio de Taylor que garante um erro menor do que
para todo
. Usando esta aproximação, escreva um programa que calcule
. Compare o resultado de sua função com o resultado da função
da linguagem de programação que você utiliza.
(b) Obtenha uma aproximação para
. Faça isso integrando o resultado do item (a), já que: