Encontre um limitante superior para o erro ao aproximar , para , pelo polinômio de Taylor de grau 3 expandido em torno de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um limitante superior para o erro ao aproximar a função no intervalo usando o polinômio de Taylor de grau 3 expandido em torno de .
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Taylor e a fórmula do resto de Lagrange que nos dá uma estimativa do erro dessa aproximação.

Passo 2

O polinômio de Taylor de grau 3 para em torno de é dado por:
Isso significa que estamos aproximando por esse polinômio quando está próximo de 0.

Passo 3

O erro dessa aproximação, também chamado de resto, pode ser estimado usando a fórmula do resto de Lagrange:
onde está entre 0 e , e é o grau do polinômio de Taylor (no nosso caso, 3).

Passo 4

Para , todas as derivadas são iguais a , ou seja, .
Portanto, o restante fica:

Passo 5

Queremos encontrar um limitante superior para o erro no intervalo . Sabemos que é sempre positivo e atinge seu máximo em dentro desse intervalo.
Então, temos:

Passo 6

Substituindo esse valor na expressão do resto, obtemos:
Calculando , fica:

Passo 7

Como , o valor de é no máximo 1. Portanto:
Assim, o limitante superior para o erro é:

Resposta

O limitante superior para o erro é .

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(b) Usando o polinômio de Taylor para , substitua para obter uma aproximação para . Compare o resultado com (a).
Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de de grau para as seguintes funções:
(b)
(opcional) Para , encontre a aproximação por polinômio de Taylor que garante um erro menor do que para todo . Usando esta aproximação, escreva um programa que calcule . Compare o resultado de sua função com o resultado da função da linguagem de programação que você utiliza.
(b) Obtenha uma aproximação para . Faça isso integrando o resultado do item (a), já que: