Encontre um limitante superior para o erro ao aproximar f(x) = e^x, para x em [-1, 1], pelo polinômio de Taylor de grau 3 expandido em torno de a = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um limitante superior para o erro ao aproximar a função no intervalo usando o polinômio de Taylor de grau 3 expandido em torno de .
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Taylor e a fórmula do resto de Lagrange que nos dá uma estimativa do erro dessa aproximação.

Passo 2

O polinômio de Taylor de grau 3 para em torno de é dado por:
Isso significa que estamos aproximando por esse polinômio quando está próximo de 0.

Passo 3

O erro dessa aproximação, também chamado de resto, pode ser estimado usando a fórmula do resto de Lagrange:
onde está entre 0 e , e é o grau do polinômio de Taylor (no nosso caso, 3).

Passo 4

Para , todas as derivadas são iguais a , ou seja, .
Portanto, o restante fica:

Passo 5

Queremos encontrar um limitante superior para o erro no intervalo . Sabemos que é sempre positivo e atinge seu máximo em dentro desse intervalo.
Então, temos:

Passo 6

Substituindo esse valor na expressão do resto, obtemos:
Calculando , fica:

Passo 7

Como , o valor de é no máximo 1. Portanto:
Assim, o limitante superior para o erro é:

Resposta

O limitante superior para o erro é .

Exercícios relacionados