(opcional) Para f(x) = e^x, encontre a aproximação por polinômio de Taylor que garante um erro menor do que 10^(-7) para todo x em [-1, 1]. Usando esta aproximação, escreva um programa que calcule e^x. Compare o resultado de sua função com o resultado da função exp() da linguagem de programação que você utiliza.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar um polinômio de Taylor que aproxime essa função com um erro menor que para todo no intervalo . Para fazer isso, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função exponencial e saber como determinar quantos termos são necessários para atingir o nível de precisão desejado.

Passo 2

A série de Taylor de uma função em torno de é dada por:
Para e centrando em (Série de Maclaurin), a expressão fica:
Isso significa que podemos aproximar usando os primeiros termos dessa série.

Passo 3

Nosso objetivo é determinar o mínimo valor de tal que o erro seja menor que para todo em . O erro da aproximação pela série de Taylor é dado por:
Para , temos . Como está em , . Assim:
Queremos que . Vamos encontrar o menor que satisfaz essa desigualdade.

Passo 4

Vamos calcular para diferentes valores de :
  • Para :
  • Para :
Portanto, é suficiente para garantir que o erro seja menor que .

Passo 5

Agora, vamos escrever o polinômio de Taylor de grau 10 para :
Este polinômio pode ser usado para calcular uma aproximação de para qualquer em com o erro desejado.

Passo 6

Com o polinômio definido, podemos implementar um programa (por exemplo, em Python) que calcula usando essa aproximação. O programa somaria os termos de até e compararia o resultado com a função padrão exp() da linguagem para verificar a precisão.

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 10 para garante um erro menor que para todo em . Com esse polinômio, é possível calcular com a precisão requerida e comparar com a função padrão da linguagem de programação utilizada.

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