Determine: as direções em que tem taxa de variação máxima e mínima.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma função e queremos descobrir em quais direções essa função apresenta a taxa de variação máxima e mínima. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o conceito de gradiente da função, que nos ajuda a identificar essas direções.

Passo 2

A taxa de variação de uma função em uma direção qualquer é chamada de derivada direcional. Matematicamente, ela é calculada usando o gradiente da função. O gradiente de , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função.

Passo 3

Para encontrar a direção de máxima taxa de variação, apenas precisamos olhar para o gradiente . A direção do gradiente é exatamente onde a função aumenta mais rapidamente. Ou seja, a taxa de variação máxima ocorre na direção do gradiente.

Passo 4

Agora, para encontrar a direção de mínima taxa de variação, observamos o sentido oposto do gradiente. Se o gradiente aponta para a direção de aumento máximo, então o oposto dele, , aponta para a direção de diminuição máxima. Assim, a taxa de variação mínima ocorre na direção oposta ao gradiente.

Resposta

A função tem taxa de variação máxima na direção do gradiente e taxa de variação mínima na direção oposta a .

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Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.
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(b) Use a definição de integral definida (com as extremidades direitas) para calcular o valor da integral