(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que usar a Desigualdade de Taylor para ver quão boa é a aproximação de
pelo polinômio de Taylor
quando
está entre 3 e 5. Pra isso, vamos precisar entender a Desigualdade de Taylor e calcular algumas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele é uma maneira de aproximar funções usando polinômios. No nosso caso, queremos o polinômio de Taylor de ordem 3 (
) em torno de
. Isso significa que vamos usar as primeiras quatro derivadas de
no ponto
.
Passo 3
A Desigualdade de Taylor nos dá uma estimativa do erro entre a função e a aproximação pelo polinômio de Taylor. A fórmula é:
Onde
é o máximo da
-ésima derivada de
no intervalo considerado.
Passo 4
Vamos encontrar a quarta derivada de
. Calculando:
O valor absoluto da quarta derivada é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor máximo de
no intervalo
. Como
aumenta conforme
aumenta, o máximo de
ocorre quando
é menor, ou seja, em
:
Passo 6
Aplicando a Desigualdade de Taylor:
Resposta
A precisão da aproximação é, no máximo,
para
.