(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x) aproximadamente T_n(x) quando x estiver no intervalo dado. f(x) = ln(x), a = 4, n = 3, 3 <= x <= 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar a Desigualdade de Taylor para ver quão boa é a aproximação de pelo polinômio de Taylor quando x está entre 3 e 5. Pra isso, vamos precisar entender a Desigualdade de Taylor e calcular algumas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele é uma maneira de aproximar funções usando polinômios. No nosso caso, queremos o polinômio de Taylor de ordem 3 ( n = 3) em torno de a = 4. Isso significa que vamos usar as primeiras quatro derivadas de f(x) no ponto x = 4.

Passo 3

A Desigualdade de Taylor nos dá uma estimativa do erro entre a função e a aproximação pelo polinômio de Taylor. A fórmula é:
Onde M é o máximo da n + 1-ésima derivada de f(x) no intervalo considerado.

Passo 4

Vamos encontrar a quarta derivada de . Calculando:
O valor absoluto da quarta derivada é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor máximo de no intervalo . Como aumenta conforme x aumenta, o máximo de ocorre quando x é menor, ou seja, em x = 3:

Passo 6

Aplicando a Desigualdade de Taylor:

Resposta

A precisão da aproximação é, no máximo, para .

Exercícios relacionados