(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar a Desigualdade de Taylor para ver quão boa é a aproximação de pelo polinômio de Taylor quando está entre 3 e 5. Pra isso, vamos precisar entender a Desigualdade de Taylor e calcular algumas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele é uma maneira de aproximar funções usando polinômios. No nosso caso, queremos o polinômio de Taylor de ordem 3 ( ) em torno de . Isso significa que vamos usar as primeiras quatro derivadas de no ponto .

Passo 3

A Desigualdade de Taylor nos dá uma estimativa do erro entre a função e a aproximação pelo polinômio de Taylor. A fórmula é:
Onde é o máximo da -ésima derivada de no intervalo considerado.

Passo 4

Vamos encontrar a quarta derivada de . Calculando:
O valor absoluto da quarta derivada é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor máximo de no intervalo . Como aumenta conforme aumenta, o máximo de ocorre quando é menor, ou seja, em :

Passo 6

Aplicando a Desigualdade de Taylor:

Resposta

A precisão da aproximação é, no máximo, para .

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Mostre que desde que e .
Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .