Mostre que desde que e .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a magnitude de é menor que a magnitude de , ou seja:
Isso vale sob a condição de que as magnitudes de e sejam ambas menores que 1:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de números complexos, especificamente propriedades de magnitudes e conjugados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o conjugado de um número complexo é . Além disso, a magnitude de um número complexo é dada por:
Também sabemos que para números complexos, o produto de um número e seu conjugado dá a magnitude ao quadrado:
Essas propriedades serão úteis para manipular as expressões que temos na inequação.

Passo 3

Vamos começar elevando ambos os lados da inequação ao quadrado para facilitar os cálculos, já que a magnitude é sempre um número real não negativo:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, vamos expandir ambos os lados das expressões:
Simplificando, sabemos que , então:

Passo 5

Podemos cancelar os termos e de ambos os lados:
Agora, vamos reorganizar os termos:

Passo 6

Fatorando o lado esquerdo:
Sabemos que e , então . Portanto, todos os termos são positivos e a soma deles será menor que 1.

Resposta

Assim, mostramos que:
sempre que e .

Exercícios relacionados

(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
Resolva as equações:
Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .
Encontre todas as soluções das equações: