Mostre que
desde que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a magnitude de
é menor que a magnitude de
, ou seja:
Isso vale sob a condição de que as magnitudes de
e
sejam ambas menores que 1:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de números complexos, especificamente propriedades de magnitudes e conjugados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o conjugado de um número complexo
é
. Além disso, a magnitude de um número complexo
é dada por:
Também sabemos que para números complexos, o produto de um número e seu conjugado dá a magnitude ao quadrado:
Essas propriedades serão úteis para manipular as expressões que temos na inequação.
Passo 3
Vamos começar elevando ambos os lados da inequação ao quadrado para facilitar os cálculos, já que a magnitude é sempre um número real não negativo:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, vamos expandir ambos os lados das expressões:
Simplificando, sabemos que
, então:
Passo 5
Podemos cancelar os termos
e
de ambos os lados:
Agora, vamos reorganizar os termos:
Passo 6
Fatorando o lado esquerdo:
Sabemos que
e
, então
. Portanto, todos os termos são positivos e a soma deles será menor que 1.
Resposta
Assim, mostramos que:
sempre que
e
.
Exercícios relacionados
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado.
Resolva as equações:
Encontre o polinômio de Taylor
da função
centrada no número
.
Encontre todas as soluções das equações: