Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .
Passo 1
Vamos encontrar o polinômio de Taylor da função centrado no número e de grau . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e utilizá-las na fórmula do polinômio de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto :
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de :
Calculando no ponto :
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada de :
Calculando no ponto :
Passo 5
Agora, vamos calcular a terceira derivada de :
Calculando no ponto :
Passo 6
Com todas as derivadas calculadas, podemos montar o polinômio de Taylor de grau 3 utilizando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 3 da função centrado em é dado por: