Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .

Passo 1

Vamos encontrar o polinômio de Taylor da função centrado no número e de grau . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e utilizá-las na fórmula do polinômio de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de :
Calculando no ponto :

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada de :
Calculando no ponto :

Passo 5

Agora, vamos calcular a terceira derivada de :
Calculando no ponto :

Passo 6

Com todas as derivadas calculadas, podemos montar o polinômio de Taylor de grau 3 utilizando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 3 da função centrado em é dado por:

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(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
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