Seja , tal que para todo . Seja , tal que para todo . Defina a função composta em que .
Determine a imagem inversa , em que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções: e . A gente quer primeiro compor essas funções para formar , ou seja, . Depois, precisamos encontrar o conjunto de todos os que, quando passados por , dão um valor dentro de . Basicamente, vamos usar conceitos de funções compostas e resolver uma inequação quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão da função composta . Isso significa que a gente vai substituir dentro de :
Então, .

Passo 3

Agora, queremos achar todos os valores de que fazem com que esteja dentro de , ou seja:
Substituindo :

Passo 4

Vamos resolver a inequação . Lembrando que o quadrado de qualquer número é sempre não negativo, então a parte já é sempre verdadeira e não precisamos nos preocupar com ela. Focamos então em:

Passo 5

Para resolver , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Isso significa que:
Agora, subtraímos 2 de todas as partes da desigualdade:

Resposta

A imagem inversa é o intervalo:

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Seja , tal que para todo . Seja , tal que para todo . Defina a função composta em que .
Determine a imagem direta , em que .
Esboce o gráfico das seguintes funções :
d)
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
Seja , tal que para todo . Considere os conjuntos
Determine e .