Seja f: R -> R, tal que f(x) = x + 2 para todo x em R. Seja g: R -> R, tal que g(x) = x^2 para todo x em R. Defina a função composta h: R -> R em que h = g(f).
Determine a imagem inversa h^(-1)(G), em que G = {x pertence a R ; 0 <= x <= 4}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções: e . A gente quer primeiro compor essas funções para formar , ou seja, . Depois, precisamos encontrar o conjunto de todos os que, quando passados por , dão um valor dentro de . Basicamente, vamos usar conceitos de funções compostas e resolver uma inequação quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão da função composta . Isso significa que a gente vai substituir dentro de :
Então, .

Passo 3

Agora, queremos achar todos os valores de que fazem com que esteja dentro de , ou seja:
Substituindo :

Passo 4

Vamos resolver a inequação . Lembrando que o quadrado de qualquer número é sempre não negativo, então a parte já é sempre verdadeira e não precisamos nos preocupar com ela. Focamos então em:

Passo 5

Para resolver , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Isso significa que:
Agora, subtraímos 2 de todas as partes da desigualdade:

Resposta

A imagem inversa é o intervalo:

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