Considere um oscilador harmônico de massa
e frequência angular
. No tempo
, o estado do oscilador é dado por
onde os estados
são estados estacionários com energia
Qual é a probabilidade
de que uma medida da energia do oscilador realizada em um tempo arbitrário
fornecerá um resultado maior do que
? Quando
, quais são os coeficientes
que são diferentes de zero?
Resposta:
Qual é a probabilidade
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um oscilador harmônico com massa
e frequência angular
. No tempo inicial
, o estado do sistema é dado por uma combinação de estados estacionários
com coeficientes
. A questão pede para calcular a probabilidade
de medir uma energia maior que
em um tempo qualquer
. Além disso, quando essa probabilidade for zero, queremos saber quais coeficientes
são diferentes de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como os estados estacionários funcionam e como calcular probabilidades em sistemas quânticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os estados estacionários
são soluções da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico. Cada estado
tem uma energia associada de
, onde
é um número inteiro não negativo (0, 1, 2, …). O estado geral
é uma superposição desses estados estacionários com coeficientes
.
Passo 3
Quando o sistema evolui no tempo, o estado
também é uma combinação dos mesmos estados estacionários, mas cada um ganha uma fase que depende da energia. A forma geral é:
No entanto, para calcular a probabilidade de medir uma certa energia, essa fase não interfere, já que vamos calcular o módulo ao quadrado dos coeficientes.
Passo 4
A probabilidade de medir uma energia específica
é dada por
. Então, para encontrar a probabilidade
de medir uma energia maior que
, precisamos somar as probabilidades de todos os estados com energia acima desse valor.
Passo 5
Vamos identificar para quais valores de
a energia
é maior que
:
Resolvendo a inequação:
Como
é inteiro, os valores são
.
Passo 6
Portanto, a probabilidade
de medir uma energia maior que
é a soma dos quadrados dos módulos dos coeficientes
para
:
Passo 7
Agora, quando
, isso significa que não há probabilidade de medir uma energia maior que
. Ou seja, todos os coeficientes
para
devem ser zero. Assim, os únicos coeficientes que podem ser diferentes de zero são aqueles para
e
.
A soma das probabilidades deve ser 1:
Como
, temos:
Resposta
Exercícios relacionados
Como o vetor de estado normalizado
é definido a menos de um fator de fase global, fixamos este valor escolhendo
real e positivo. Fazemos:
. Assumimos que
e que
Calcule
Resposta:
Resposta:
Construa as matrizes que representam os operadores
e
na base
. Utilizando estas matrizes, construa a matriz que representa o operador Hamiltoniano para o oscilador harmônico (a matriz que representa
na base
é diagonal, com os autovalores de energia sendo os elementos da diagonal principal)
Uma estera solida, uniforme, de massa igual a 1.000 kg , possui um raio de
(b) Use a expresspo para a velocidade de escape para obter a gravidade
na superficie do planeta (lembre-se da expressio para 9 . que pode ser combinada com a expressīo para a velocidade de escape).