Considere um oscilador harmônico de massa e frequência angular . No tempo , o estado do oscilador é dado por
onde os estados são estados estacionários com energia
Qual é a probabilidade de que uma medida da energia do oscilador realizada em um tempo arbitrário fornecerá um resultado maior do que ? Quando , quais são os coeficientes que são diferentes de zero?
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um oscilador harmônico com massa e frequência angular . No tempo inicial , o estado do sistema é dado por uma combinação de estados estacionários com coeficientes . A questão pede para calcular a probabilidade de medir uma energia maior que em um tempo qualquer . Além disso, quando essa probabilidade for zero, queremos saber quais coeficientes são diferentes de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como os estados estacionários funcionam e como calcular probabilidades em sistemas quânticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os estados estacionários são soluções da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico. Cada estado tem uma energia associada de , onde é um número inteiro não negativo (0, 1, 2, …). O estado geral é uma superposição desses estados estacionários com coeficientes .

Passo 3

Quando o sistema evolui no tempo, o estado também é uma combinação dos mesmos estados estacionários, mas cada um ganha uma fase que depende da energia. A forma geral é:
No entanto, para calcular a probabilidade de medir uma certa energia, essa fase não interfere, já que vamos calcular o módulo ao quadrado dos coeficientes.

Passo 4

A probabilidade de medir uma energia específica é dada por . Então, para encontrar a probabilidade de medir uma energia maior que , precisamos somar as probabilidades de todos os estados com energia acima desse valor.

Passo 5

Vamos identificar para quais valores de a energia é maior que :
Resolvendo a inequação:
Como é inteiro, os valores são .

Passo 6

Portanto, a probabilidade de medir uma energia maior que é a soma dos quadrados dos módulos dos coeficientes para :

Passo 7

Agora, quando , isso significa que não há probabilidade de medir uma energia maior que . Ou seja, todos os coeficientes para devem ser zero. Assim, os únicos coeficientes que podem ser diferentes de zero são aqueles para e .
A soma das probabilidades deve ser 1:
Como , temos:

Resposta

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Resposta:
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(b) Use a expresspo para a velocidade de escape para obter a gravidade na superficie do planeta (lembre-se da expressio para 9 . que pode ser combinada com a expressīo para a velocidade de escape).