(b) Use o item (a) para mostrar que
se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que
quando
. Para isso, vamos usar o que aprendemos no item (a), que provavelmente envolve propriedades do logaritmo natural. Vamos precisar entender um pouco sobre funções logarítmicas e compará-las com funções lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que o item (a) nos ensinou. Geralmente, em problemas assim, no item (a) a gente mostra que
para todo
. Essa é uma desigualdade muito útil que relaciona o logaritmo natural com uma função linear simples.
Passo 3
Agora, vamos usar essa desigualdade para provar que
quando
. Sabemos que se
, então:
Passo 4
Vamos analisar o lado direito da desigualdade,
. Se
, então
é positivo, ou seja,
. Isso significa que:
Porque se você subtrai 1 de
, o resultado é menor que
.
Passo 5
Agora, juntando as duas desigualdades que temos:
Portanto, concluímos que:
Resposta
Para todo
, temos que
.