(b) Use o item (a) para mostrar que ln x < x se x > 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que quando . Para isso, vamos usar o que aprendemos no item (a), que provavelmente envolve propriedades do logaritmo natural. Vamos precisar entender um pouco sobre funções logarítmicas e compará-las com funções lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que o item (a) nos ensinou. Geralmente, em problemas assim, no item (a) a gente mostra que para todo . Essa é uma desigualdade muito útil que relaciona o logaritmo natural com uma função linear simples.

Passo 3

Agora, vamos usar essa desigualdade para provar que quando . Sabemos que se , então:

Passo 4

Vamos analisar o lado direito da desigualdade, . Se , então é positivo, ou seja, . Isso significa que:
Porque se você subtrai 1 de x, o resultado é menor que x.

Passo 5

Agora, juntando as duas desigualdades que temos:
Portanto, concluímos que:

Resposta

Para todo , temos que .

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