(b) Use o item (a) para mostrar que
se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que
quando
. Para isso, vamos usar o que aprendemos no item (a), que provavelmente envolve propriedades do logaritmo natural. Vamos precisar entender um pouco sobre funções logarítmicas e compará-las com funções lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que o item (a) nos ensinou. Geralmente, em problemas assim, no item (a) a gente mostra que
para todo
. Essa é uma desigualdade muito útil que relaciona o logaritmo natural com uma função linear simples.
Passo 3
Agora, vamos usar essa desigualdade para provar que
quando
. Sabemos que se
, então:
Passo 4
Vamos analisar o lado direito da desigualdade,
. Se
, então
é positivo, ou seja,
. Isso significa que:
Porque se você subtrai 1 de
, o resultado é menor que
.
Passo 5
Agora, juntando as duas desigualdades que temos:
Portanto, concluímos que:
Resposta
Para todo
, temos que
.
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Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
(b) Se
é contínua em
e se
para todo
, prove que
, para algum
.
© Uma estrada retilínea de 50 km liga duas cidades e
. Prove que é impossível viajar de
a
de automóvel, em exatamente uma hora, sem que o velocímetro registre 50
ao menos uma vez.
(d) Se denota o peso (em quilos) de um indivíduo e
denota o tempo (em meses), então
é a taxa de ganho ou perda de peso (em kg/mês). O recorde de perda de peso é uma redução de 220 kg para 60 kg durante um período de 8 meses. Mostre que a taxa de redução de peso excedeu 20 kg em algum tempo durante o período de oito meses.
(e) Prove que se e
são números reais arbitrários, então
© Uma estrada retilínea de 50 km liga duas cidades
(d) Se
(e) Prove que se
(f) Prove que
, para
0 .
(g) A velocidade fixada para uma estrada dos EUA, de 125 milhas de extensão sujeita a pedágio, é de 65 . Quando um automóvel chega ao guichê de pedágio, o motorista recebe um tíquete em que está impressa a hora exata. Se o motorista completa o percurso em 1 hora e 40 minutos ou menos, ele é notificado ao pagar o pedágio. Explique por que essa notificação se justifica.
(g) A velocidade fixada para uma estrada dos EUA, de 125 milhas de extensão sujeita a pedágio, é de 65
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
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