Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida. y' + cotg(x) y = 4 sen(x), y(-pi/2) = 0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema de equação diferencial. O enunciado nos dá uma equação do tipo linear de primeira ordem:
E um valor inicial:
Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes da equação. Temos que é a derivada de em relação a , que é o cosseno dividido pelo seno de , e que é a função que está forçando a equação.

Passo 3

Agora, determinamos o fator integrante , que é dado por:
Aqui, . Então, calculamos a integral:
Desprezando a constante , temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando :
Então, a equação fica:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto . Então, podemos escrever:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente .

Passo 6

Para resolver a integral do lado direito, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Integrando:

Passo 7

Voltando à equação:
Agora, resolvemos para :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Simplificando:
Sabemos que , então:
Multiplicando ambos os lados por :
Logo, .

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Essa solução é válida no intervalo onde , ou seja, para além de outros intervalos onde não zere.

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