Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida. y' + cotg(x) y = 4 sen(x), y(-pi/2) = 0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema de equação diferencial. O enunciado nos dá uma equação do tipo linear de primeira ordem:
E um valor inicial:
Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes da equação. Temos que é a derivada de em relação a , que é o cosseno dividido pelo seno de , e que é a função que está forçando a equação.

Passo 3

Agora, determinamos o fator integrante , que é dado por:
Aqui, . Então, calculamos a integral:
Desprezando a constante , temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando :
Então, a equação fica:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto . Então, podemos escrever:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente .

Passo 6

Para resolver a integral do lado direito, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Integrando:

Passo 7

Voltando à equação:
Agora, resolvemos para :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Simplificando:
Sabemos que , então:
Multiplicando ambos os lados por :
Logo, .

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Essa solução é válida no intervalo onde , ou seja, para além de outros intervalos onde não zere.

Exercícios relacionados

Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida. x y' + 2 y = sen(x), y(pi) = 1/pi
0,2 pt Considere as funções definidas pelas tabelas:
x 1 2 3 4 5
y 3 1 -1 -3 -5
x 1 2 3 4 5
y 6 3 2 1,5 1,2
(b) Encontre, em cada caso, as constantes que determinam a expressão algébrica da função.
(b) Use o item (a) para mostrar que ln x < x se x > 1.
(b) Se f é contínua em [a, b] e se f'(x) = c para todo x in (a, b), prove que f(x) = c*x + d, para todo x em [a, b], para algum d pertence a R.
© Uma estrada retilínea de 50 km liga duas cidades A e B. Prove que é impossível viajar de A a B de automóvel, em exatamente uma hora, sem que o velocímetro registre 50 km/h ao menos uma vez.
(d) Se W denota o peso (em quilos) de um indivíduo e t denota o tempo (em meses), então dW/dt é a taxa de ganho ou perda de peso (em kg/mês). O recorde de perda de peso é uma redução de 220 kg para 60 kg durante um período de 8 meses. Mostre que a taxa de redução de peso excedeu 20 kg em algum tempo durante o período de oito meses.
(e) Prove que se u e v são números reais arbitrários, então
|sen(u) - sen(v)| <= |u - v|
(f) Prove que raiz(1 + h) < 1 + 1/2 * h, para h > 0 .
(g) A velocidade fixada para uma estrada dos EUA, de 125 milhas de extensão sujeita a pedágio, é de 65 mi/h. Quando um automóvel chega ao guichê de pedágio, o motorista recebe um tíquete em que está impressa a hora exata. Se o motorista completa o percurso em 1 hora e 40 minutos ou menos, ele é notificado ao pagar o pedágio. Explique por que essa notificação se justifica.