Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema de equação diferencial. O enunciado nos dá uma equação do tipo linear de primeira ordem:
E um valor inicial:
Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos as partes da equação. Temos
que é a derivada de
em relação a
,
que é o cosseno dividido pelo seno de
, e
que é a função que está forçando a equação.
Passo 3
Agora, determinamos o fator integrante
, que é dado por:
Aqui,
. Então, calculamos a integral:
Desprezando a constante
, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando
:
Então, a equação fica:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
. Então, podemos escrever:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
.
Passo 6
Para resolver a integral do lado direito, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Integrando:
Passo 7
Voltando à equação:
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Logo,
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Essa solução é válida no intervalo onde
, ou seja, para
além de outros intervalos onde
não zere.