Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema de equação diferencial. O enunciado nos dá uma equação do tipo linear de primeira ordem:
E um valor inicial:
Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos as partes da equação. Temos
que é a derivada de
em relação a
,
que é o cosseno dividido pelo seno de
, e
que é a função que está forçando a equação.
Passo 3
Agora, determinamos o fator integrante
, que é dado por:
Aqui,
. Então, calculamos a integral:
Desprezando a constante
, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando
:
Então, a equação fica:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
. Então, podemos escrever:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
.
Passo 6
Para resolver a integral do lado direito, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Integrando:
Passo 7
Voltando à equação:
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Logo,
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Essa solução é válida no intervalo onde
, ou seja, para
além de outros intervalos onde
não zere.
Exercícios relacionados
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 3 | 1 | -1 | -3 | -5 |
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 6 | 3 | 2 | 1,5 | 1,2 |
(b) Encontre, em cada caso, as constantes que determinam a expressão algébrica da função.
(b) Use o item (a) para mostrar que
se
.
(b) Se
é contínua em
e se
para todo
, prove que
, para algum
.
© Uma estrada retilínea de 50 km liga duas cidades e
. Prove que é impossível viajar de
a
de automóvel, em exatamente uma hora, sem que o velocímetro registre 50
ao menos uma vez.
(d) Se denota o peso (em quilos) de um indivíduo e
denota o tempo (em meses), então
é a taxa de ganho ou perda de peso (em kg/mês). O recorde de perda de peso é uma redução de 220 kg para 60 kg durante um período de 8 meses. Mostre que a taxa de redução de peso excedeu 20 kg em algum tempo durante o período de oito meses.
(e) Prove que se e
são números reais arbitrários, então
© Uma estrada retilínea de 50 km liga duas cidades
(d) Se
(e) Prove que se
(f) Prove que
, para
0 .
(g) A velocidade fixada para uma estrada dos EUA, de 125 milhas de extensão sujeita a pedágio, é de 65 . Quando um automóvel chega ao guichê de pedágio, o motorista recebe um tíquete em que está impressa a hora exata. Se o motorista completa o percurso em 1 hora e 40 minutos ou menos, ele é notificado ao pagar o pedágio. Explique por que essa notificação se justifica.
(g) A velocidade fixada para uma estrada dos EUA, de 125 milhas de extensão sujeita a pedágio, é de 65