Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida. x y' + 2 y = sen(x), y(pi) = 1/pi

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com um valor inicial:
O conteúdo principal aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão das equações lineares. Dividindo todos os termos por x, temos:
Agora, identificamos que o coeficiente de y é .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante mu(x) é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante x^2:
Note que o lado esquerdo agora é a derivada do produto x^2 y.

Passo 5

Reescrevendo, temos:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x.

Passo 6

A integral do lado esquerdo é simples:
Para resolver a integral do lado direito, usamos a técnica de integração por partes.

Passo 7

Aplicando integração por partes, onde:
  • e
  • Então, e
A integral fica:

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos y dividindo por x^2:

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C:
Sabemos que e , então substituindo:
Multiplicando ambos os lados por pi^2:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Essa solução é válida para todo .

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