Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com um valor inicial:
O conteúdo principal aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão das equações lineares. Dividindo todos os termos por
, temos:
Agora, identificamos que o coeficiente de
é
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Note que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Reescrevendo, temos:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
A integral do lado esquerdo é simples:
Para resolver a integral do lado direito, usamos a técnica de integração por partes.
Passo 7
Aplicando integração por partes, onde:
-
e - Então,
e
A integral fica:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos
dividindo por
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Sabemos que
e
, então substituindo:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Essa solução é válida para todo
.