(b) Se f é contínua em [a, b] e se f'(x) = c para todo x in (a, b), prove que f(x) = c*x + d, para todo x em [a, b], para algum d pertence a R.
© Uma estrada retilínea de 50 km liga duas cidades A e B. Prove que é impossível viajar de A a B de automóvel, em exatamente uma hora, sem que o velocímetro registre 50 km/h ao menos uma vez.
(d) Se W denota o peso (em quilos) de um indivíduo e t denota o tempo (em meses), então dW/dt é a taxa de ganho ou perda de peso (em kg/mês). O recorde de perda de peso é uma redução de 220 kg para 60 kg durante um período de 8 meses. Mostre que a taxa de redução de peso excedeu 20 kg em algum tempo durante o período de oito meses.
(e) Prove que se u e v são números reais arbitrários, então
|sen(u) - sen(v)| <= |u - v|
(f) Prove que raiz(1 + h) < 1 + 1/2 * h, para h > 0 .
(g) A velocidade fixada para uma estrada dos EUA, de 125 milhas de extensão sujeita a pedágio, é de 65 mi/h. Quando um automóvel chega ao guichê de pedágio, o motorista recebe um tíquete em que está impressa a hora exata. Se o motorista completa o percurso em 1 hora e 40 minutos ou menos, ele é notificado ao pagar o pedágio. Explique por que essa notificação se justifica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se a função é contínua no intervalo e sua derivada é igual a uma constante para todo em , então a gente precisa provar que é igual a para algum número real em todo .
O conteúdo aqui é cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas constantes e como elas determinam a forma da função. Vamos precisar entender como integrar uma derivada constante para achar a forma da função original.

Passo 2

Primeiro, sabemos que se a derivada de é uma constante , isso significa que a taxa de variação de não muda no intervalo . Para encontrar , vamos integrar a derivada .
Integrando ambos os lados em relação a :
A integração da derivada de nos dá a própria função :
Aqui, é a constante de integração, que representa o valor inicial da função quando .

Passo 3

Agora, precisamos conferir se essa expressão está de acordo com as condições do problema para todo em . Como é contínua nesse intervalo e a derivada é constante, a função linear também será contínua e diferenciável em .
Portanto, concluímos que a única forma que pode ter, dada a derivada constante e a continuidade, é , onde é uma constante real que pode ser determinada com base em condições adicionais, se houver.

Resposta

A função é dada por para todo no intervalo , onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

(b) Use o item (a) para mostrar que ln x < x se x > 1.
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida. y' + cotg(x) y = 4 sen(x), y(-pi/2) = 0
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida. (1-x^2) y' - x y = x(1-x^2), y(0) = 2.
Coeficientes Descontínuos
a) Resolver o P. V.I: y' + 2y = g(x), y(0) = 0, onde
g(x) = { 1, se 0 <= x <= 1; 0, se x > 1 }