(b) Se
é contínua em
e se
para todo
, prove que
, para algum
.
© Uma estrada retilínea de 50 km liga duas cidades
e
. Prove que é impossível viajar de
a
de automóvel, em exatamente uma hora, sem que o velocímetro registre 50
ao menos uma vez.
(d) Se
denota o peso (em quilos) de um indivíduo e
denota o tempo (em meses), então
é a taxa de ganho ou perda de peso (em kg/mês). O recorde de perda de peso é uma redução de 220 kg para 60 kg durante um período de 8 meses. Mostre que a taxa de redução de peso excedeu 20 kg em algum tempo durante o período de oito meses.
(e) Prove que se
e
são números reais arbitrários, então
(f) Prove que
, para
0 .
(g) A velocidade fixada para uma estrada dos EUA, de 125 milhas de extensão sujeita a pedágio, é de 65
. Quando um automóvel chega ao guichê de pedágio, o motorista recebe um tíquete em que está impressa a hora exata. Se o motorista completa o percurso em 1 hora e 40 minutos ou menos, ele é notificado ao pagar o pedágio. Explique por que essa notificação se justifica.
© Uma estrada retilínea de 50 km liga duas cidades
(d) Se
(e) Prove que se
(g) A velocidade fixada para uma estrada dos EUA, de 125 milhas de extensão sujeita a pedágio, é de 65
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se a função
é contínua no intervalo
e sua derivada
é igual a uma constante
para todo
em
, então a gente precisa provar que
é igual a
para algum número real
em todo
.
O conteúdo aqui é cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas constantes e como elas determinam a forma da função. Vamos precisar entender como integrar uma derivada constante para achar a forma da função original.
Passo 2
Primeiro, sabemos que se a derivada de
é uma constante
, isso significa que a taxa de variação de
não muda no intervalo
. Para encontrar
, vamos integrar a derivada
.
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integração da derivada de
nos dá a própria função
:
Aqui,
é a constante de integração, que representa o valor inicial da função quando
.
Passo 3
Agora, precisamos conferir se essa expressão
está de acordo com as condições do problema para todo
em
. Como
é contínua nesse intervalo e a derivada é constante, a função linear
também será contínua e diferenciável em
.
Portanto, concluímos que a única forma que
pode ter, dada a derivada constante e a continuidade, é
, onde
é uma constante real que pode ser determinada com base em condições adicionais, se houver.
Resposta
A função
é dada por
para todo
no intervalo
, onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
(b) Use o item (a) para mostrar que
se
.
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
.
Coeficientes Descontínuos
a) Resolver o P. V.I: , onde
a) Resolver o P. V.I: