(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
(i)
(ii)
(i)
(ii)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas séries aqui e precisa mostrar que elas divergem, ou seja, que não somam para um número finito. Para isso, vamos usar o que vimos na parte (a) do exercício, que provavelmente envolveu algum teste de divergência ou comparação. Vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre séries infinitas e aplicar um teste que nos ajude a concluir que essas séries não têm soma finita.
Passo 2
Vamos começar com a primeira série:
A questão aqui é verificar se a soma dos termos
dá um resultado finito ou não. Um teste bem simples que podemos usar é o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos
não é zero, então a série
diverge.
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Como o limite é zero, o Teste da Divergência não nos dá uma resposta definitiva. Então, precisamos tentar outro teste. Vamos usar o Teste da Comparação com uma série conhecida. Sabemos que a série harmônica:
é uma série que diverge. Agora, vamos comparar
com
. Para
, temos que
, então:
Como cada termo da nossa série original é maior que cada termo da série harmônica que diverge, pela Comparação Direta, nossa série também diverge.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda série:
Aqui, queremos saber se a soma dos termos
é finita ou não. Vamos novamente começar com o Teste da Divergência. Calculando o limite:
Mais uma vez, o limite é zero, então precisamos de outro teste. Vamos usar o Teste da Integral, que é útil para séries que podem ser comparadas com integrais. Consideramos a função
, que é positiva e decrescente para
.
Calculamos a integral imprópria correspondente:
Fazendo a substituição
, temos
, então a integral se torna:
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge.
Resposta
Ambas as séries
e
divergem.
Exercícios relacionados
Sejam
tal que
. Considere os números
definidos por
,
e
para
. Usando o princípio de indução forte, mostre que
para todo
.
Usando o princípio de indução, prove que
(a) para todo
.
(b) para todo
.
© para todo
.
(d) para todo
.
(e) para todo
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Sejam
e
dois conjuntos finitos disjuntos de
e
elementos respectivamente, mostre que
tem
elementos.