(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
(i) sumn=2^infty 1ln n
(ii) sumn=1^infty ln nn

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas séries aqui e precisa mostrar que elas divergem, ou seja, que não somam para um número finito. Para isso, vamos usar o que vimos na parte (a) do exercício, que provavelmente envolveu algum teste de divergência ou comparação. Vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre séries infinitas e aplicar um teste que nos ajude a concluir que essas séries não têm soma finita.

Passo 2

Vamos começar com a primeira série:
sumn=2^infty 1ln n
A questão aqui é verificar se a soma dos termos limn to infty 1ln n = 0 dá um resultado finito ou não. Um teste bem simples que podemos usar é o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos sumn=2^infty 1n não é zero, então a série 1ln n > 1n diverge.
Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Como o limite é zero, o Teste da Divergência não nos dá uma resposta definitiva. Então, precisamos tentar outro teste. Vamos usar o Teste da Comparação com uma série conhecida. Sabemos que a série harmônica:
é uma série que diverge. Agora, vamos comparar com . Para , temos que , então:
Como cada termo da nossa série original é maior que cada termo da série harmônica que diverge, pela Comparação Direta, nossa série também diverge.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda série:
sumn=1^infty ln nn
Aqui, queremos saber se a soma dos termos limn to infty ln nn = 0 é finita ou não. Vamos novamente começar com o Teste da Divergência. Calculando o limite:
integral2^infty ln xx , dx
Mais uma vez, o limite é zero, então precisamos de outro teste. Vamos usar o Teste da Integral, que é útil para séries que podem ser comparadas com integrais. Consideramos a função integralu=ln 2^infty u , du = [ u^22 ]ln 2^infty = infty , que é positiva e decrescente para .
Calculamos a integral imprópria correspondente:
Fazendo a substituição , temos , então a integral se torna:
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Resposta

Ambas as séries e divergem.

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