(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
(i)
(ii)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas séries aqui e precisa mostrar que elas divergem, ou seja, que não somam para um número finito. Para isso, vamos usar o que vimos na parte (a) do exercício, que provavelmente envolveu algum teste de divergência ou comparação. Vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre séries infinitas e aplicar um teste que nos ajude a concluir que essas séries não têm soma finita.

Passo 2

Vamos começar com a primeira série:
A questão aqui é verificar se a soma dos termos dá um resultado finito ou não. Um teste bem simples que podemos usar é o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos não é zero, então a série diverge.
Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Como o limite é zero, o Teste da Divergência não nos dá uma resposta definitiva. Então, precisamos tentar outro teste. Vamos usar o Teste da Comparação com uma série conhecida. Sabemos que a série harmônica:
é uma série que diverge. Agora, vamos comparar com . Para , temos que , então:
Como cada termo da nossa série original é maior que cada termo da série harmônica que diverge, pela Comparação Direta, nossa série também diverge.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda série:
Aqui, queremos saber se a soma dos termos é finita ou não. Vamos novamente começar com o Teste da Divergência. Calculando o limite:
Mais uma vez, o limite é zero, então precisamos de outro teste. Vamos usar o Teste da Integral, que é útil para séries que podem ser comparadas com integrais. Consideramos a função , que é positiva e decrescente para .
Calculamos a integral imprópria correspondente:
Fazendo a substituição , temos , então a integral se torna:
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Resposta

Ambas as séries e divergem.

Exercícios relacionados

Sejam tal que . Considere os números definidos por , e para . Usando o princípio de indução forte, mostre que para todo .
Usando o princípio de indução, prove que
(a) para todo .
(b) para todo .
© para todo .
(d) para todo .
(e) para todo .
Use o principio da boa ordenação em para mostrar o seguinte resultado: para dois números com tem-se que, ou é múltiplo de , ou existem com tal que . Seguidamente, prove que e são únicos nesta última igualdade.
Sejam e dois conjuntos finitos disjuntos de e elementos respectivamente, mostre que tem elementos.