Use o principio da boa ordenação em para mostrar o seguinte resultado: para dois números com tem-se que, ou é múltiplo de , ou existem com tal que . Seguidamente, prove que e são únicos nesta última igualdade.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos dois números naturais e onde . A gente vai usar o Princípio da Boa Ordenação, que basicamente diz que todo conjunto de números naturais tem um menor elemento. Com isso, vamos mostrar que ou é múltiplo de , ou podemos escrever como , onde e são números naturais e . Depois, vamos provar que esses e são únicos nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser múltiplo de . Se é múltiplo de , existe algum número natural tal que . Se isso não for verdade, vamos precisar encontrar e que satisfaçam a equação com .

Passo 3

Aqui entra o Princípio da Boa Ordenação. Vamos considerar o conjunto que contém todos os restos que aparecem quando tentamos dividir por . Formalmente, . Pelo Princípio da Boa Ordenação, esse conjunto tem um menor elemento.

Passo 4

Vamos chamar esse menor resto de . Então, temos que existe um tal que e é o menor resto possível, ou seja, . Se , então é múltiplo de . Caso contrário, a gente tem a condição .

Passo 5

Agora, vamos provar que os valores de e são únicos nessa equação. Suponha que existam dois pares diferentes e que satisfazem com .
Subtraindo as duas equações, temos:
Como e são menores que , a diferença é menor que . Isso só é possível se e , ou seja, os valores são únicos.

Resposta

Portanto, usando o Princípio da Boa Ordenação, demonstramos que para quaisquer com , ou é múltiplo de , ou existe um par único de números naturais e com tal que . Além disso, mostramos que os valores de e são únicos nessa igualdade.

Exercícios relacionados

(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
(i)
(ii)
Sejam tal que . Considere os números definidos por , e para . Usando o princípio de indução forte, mostre que para todo .
Sejam e dois conjuntos finitos disjuntos de e elementos respectivamente, mostre que tem elementos.
Identifique a curva definida pela função vetorial