Use o principio da boa ordenação em
para mostrar o seguinte resultado: para dois números
com
tem-se que, ou
é múltiplo de
, ou existem
com
tal que
. Seguidamente, prove que
e
são únicos nesta última igualdade.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos dois números naturais
e
onde
. A gente vai usar o Princípio da Boa Ordenação, que basicamente diz que todo conjunto de números naturais tem um menor elemento. Com isso, vamos mostrar que ou
é múltiplo de
, ou podemos escrever
como
, onde
e
são números naturais e
. Depois, vamos provar que esses
e
são únicos nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser múltiplo de
. Se
é múltiplo de
, existe algum número natural
tal que
. Se isso não for verdade, vamos precisar encontrar
e
que satisfaçam a equação
com
.
Passo 3
Aqui entra o Princípio da Boa Ordenação. Vamos considerar o conjunto
que contém todos os restos que aparecem quando tentamos dividir
por
. Formalmente,
. Pelo Princípio da Boa Ordenação, esse conjunto
tem um menor elemento.
Passo 4
Vamos chamar esse menor resto de
. Então, temos que existe um
tal que
e
é o menor resto possível, ou seja,
. Se
, então
é múltiplo de
. Caso contrário, a gente tem a condição
.
Passo 5
Agora, vamos provar que os valores de
e
são únicos nessa equação. Suponha que existam dois pares diferentes
e
que satisfazem
com
.
Subtraindo as duas equações, temos:
Como
e
são menores que
, a diferença
é menor que
. Isso só é possível se
e
, ou seja, os valores são únicos.
Resposta
Portanto, usando o Princípio da Boa Ordenação, demonstramos que para quaisquer
com
, ou
é múltiplo de
, ou existe um par único de números naturais
e
com
tal que
. Além disso, mostramos que os valores de
e
são únicos nessa igualdade.
Exercícios relacionados
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
(i)
(ii)
(i)
(ii)
Sejam
tal que
. Considere os números
definidos por
,
e
para
. Usando o princípio de indução forte, mostre que
para todo
.
Sejam
e
dois conjuntos finitos disjuntos de
e
elementos respectivamente, mostre que
tem
elementos.
Identifique a curva definida pela função vetorial