Usando o princípio de indução, prove que
(a) para todo .
(b) para todo .
© para todo .
(d) para todo .
(e) para todo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício usando o princípio de indução. O que a gente tem que provar é que a soma dos primeiros números ímpares até é igual a . A fórmula que queremos provar é:
Para isso, vamos precisar entender como funciona o princípio de indução, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação vale para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, que é quando . Isso significa que temos apenas o primeiro número ímpar:
Olha só, isso está certo porque . Então, a afirmação funciona para .

Passo 3

Agora, vamos fazer a hipótese de indução. A gente assume que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição vai nos ajudar a provar que a afirmação também vale para .

Passo 4

Vamos mostrar que a afirmação é verdadeira para , usando a hipótese que assumimos. Queremos provar que:
Primeiro, substituímos a soma dos primeiros números ímpares pela hipótese de indução:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
E essa igualdade está correta, pois .

Resposta

Portanto, pela indução matemática, mostramos que:

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ᄎ Prove que o conjunto dos números primos é enumerável.
Prove que a reta tangente a uma parábola intersepta a mesma apenas uma vez.
Sejam tal que . Considere os números definidos por , e para . Usando o princípio de indução forte, mostre que para todo .
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
(i)
(ii)