Usando o princípio de indução, prove que
(a)
para todo
.
(b)
para todo
.
©
para todo
.
(d)
para todo
.
(e)
para todo
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício usando o princípio de indução. O que a gente tem que provar é que a soma dos primeiros números ímpares até
é igual a
. A fórmula que queremos provar é:
Para isso, vamos precisar entender como funciona o princípio de indução, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação vale para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, que é quando
. Isso significa que temos apenas o primeiro número ímpar:
Olha só, isso está certo porque
. Então, a afirmação funciona para
.
Passo 3
Agora, vamos fazer a hipótese de indução. A gente assume que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição vai nos ajudar a provar que a afirmação também vale para
.
Passo 4
Vamos mostrar que a afirmação é verdadeira para
, usando a hipótese que assumimos. Queremos provar que:
Primeiro, substituímos a soma dos primeiros
números ímpares pela hipótese de indução:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
E essa igualdade está correta, pois
.
Resposta
Portanto, pela indução matemática, mostramos que:
Exercícios relacionados
ᄎ Prove que o conjunto dos números primos é enumerável.
Prove que a reta tangente a uma parábola intersepta a mesma apenas uma vez.
Sejam
tal que
. Considere os números
definidos por
,
e
para
. Usando o princípio de indução forte, mostre que
para todo
.
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
(i)
(ii)
(i)
(ii)