Usando o princípio de indução, prove que
(a) 1 + 3 + ... + (2n - 1) = n^2 para todo n in N.
(b) 1^2 + 3^2 + ... + (2n-1)^2 = (4n^3 - n) / 3 para todo n in N.
© 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = n^2(n + 1)^2 / 4 para todo n in N.
(d) 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/(n(n+1)) = n/(n+1) para todo n in N.
(e) 1^2 - 2^2 + 3^2 + ... + (-1)^(n+1) * n^2 = (-1)^(n+1) * n * (n + 1) / 2 para todo n in N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício usando o princípio de indução. O que a gente tem que provar é que a soma dos primeiros números ímpares até é igual a . A fórmula que queremos provar é:
Para isso, vamos precisar entender como funciona o princípio de indução, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação vale para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, que é quando . Isso significa que temos apenas o primeiro número ímpar:
Olha só, isso está certo porque . Então, a afirmação funciona para .

Passo 3

Agora, vamos fazer a hipótese de indução. A gente assume que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição vai nos ajudar a provar que a afirmação também vale para .

Passo 4

Vamos mostrar que a afirmação é verdadeira para , usando a hipótese que assumimos. Queremos provar que:
Primeiro, substituímos a soma dos primeiros números ímpares pela hipótese de indução:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
E essa igualdade está correta, pois .

Resposta

Portanto, pela indução matemática, mostramos que:

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