Sejam tal que . Considere os números definidos por , e para . Usando o princípio de indução forte, mostre que para todo .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números naturais, e , onde . A gente cria uma sequência começando por e . Depois, cada termo seguinte é a média dos dois anteriores: . A tarefa é mostrar, usando o princípio da indução forte, que todos os termos da sequência sempre ficam entre e , ou seja, para todo . Para isso, vamos precisar entender o que é indução forte e como aplicar essa técnica na prova.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o princípio da indução forte. Diferente da indução simples, que prova um caso base e depois assume que a afirmação vale para um caso para provar o caso , a indução forte assume que a afirmação é verdadeira para todos os casos até para provar o caso . Isso é útil quando o próximo termo depende de vários termos anteriores, como é o nosso caso.

Passo 3

Vamos estabelecer nosso caso base. Temos e . Claramente, e . Então, o caso base está confirmado.

Passo 4

Agora, vamos assumir que para todos os termos até , a afirmação é verdadeira. Ou seja, para todo de 1 até , temos .

Passo 5

Queremos provar que . Sabemos que . Pela nossa hipótese de indução, sabemos que e .

Passo 6

Vamos somar as duas desigualdades:
e

Passo 7

Agora, dividindo tudo por 2:
e
Portanto,

Passo 8

Assim, mostramos que se a afirmação vale para todos os termos até , ela também vale para . Pela indução forte, isso confirma que para todo .

Resposta

Portanto, usando o princípio da indução forte, demonstramos que para todo , .

Exercícios relacionados

Usando o princípio de indução, prove que
(a) para todo .
(b) para todo .
© para todo .
(d) para todo .
(e) para todo .
ᄎ Prove que o conjunto dos números primos é enumerável.
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
(i)
(ii)
Use o principio da boa ordenação em para mostrar o seguinte resultado: para dois números com tem-se que, ou é múltiplo de , ou existem com tal que . Seguidamente, prove que e são únicos nesta última igualdade.