Sejam
tal que
. Considere os números
definidos por
,
e
para
. Usando o princípio de indução forte, mostre que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números naturais,
e
, onde
. A gente cria uma sequência
começando por
e
. Depois, cada termo seguinte é a média dos dois anteriores:
. A tarefa é mostrar, usando o princípio da indução forte, que todos os termos da sequência sempre ficam entre
e
, ou seja,
para todo
. Para isso, vamos precisar entender o que é indução forte e como aplicar essa técnica na prova.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o princípio da indução forte. Diferente da indução simples, que prova um caso base e depois assume que a afirmação vale para um caso
para provar o caso
, a indução forte assume que a afirmação é verdadeira para todos os casos até
para provar o caso
. Isso é útil quando o próximo termo depende de vários termos anteriores, como é o nosso caso.
Passo 3
Vamos estabelecer nosso caso base. Temos
e
. Claramente,
e
. Então, o caso base está confirmado.
Passo 4
Agora, vamos assumir que para todos os termos até
, a afirmação
é verdadeira. Ou seja, para todo
de 1 até
, temos
.
Passo 5
Queremos provar que
. Sabemos que
. Pela nossa hipótese de indução, sabemos que
e
.
Passo 6
Vamos somar as duas desigualdades:
e
Passo 7
Agora, dividindo tudo por 2:
e
Portanto,
Passo 8
Assim, mostramos que se a afirmação vale para todos os termos até
, ela também vale para
. Pela indução forte, isso confirma que
para todo
.
Resposta
Portanto, usando o princípio da indução forte, demonstramos que para todo
,
.
Exercícios relacionados
Usando o princípio de indução, prove que
(a) para todo
.
(b) para todo
.
© para todo
.
(d) para todo
.
(e) para todo
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
ᄎ Prove que o conjunto dos números primos é enumerável.
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
(i)
(ii)
(i)
(ii)