Sejam
e
dois conjuntos finitos disjuntos de
e
elementos respectivamente, mostre que
tem
elementos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois conjuntos finitos,
e
, que são disjuntos (isso quer dizer que não têm nenhum elemento em comum). O conjunto
tem
elementos e o
tem
elementos. A gente precisa mostrar que a união desses dois conjuntos,
, tem exatamente
elementos. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como o que significa união de conjuntos e o conceito de conjuntos disjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a união de dois conjuntos. A união
é um conjunto que contém todos os elementos que estão em
ou em
, ou em ambos. Mas, como
e
são disjuntos, isso significa que não tem nenhum elemento que esteja nos dois conjuntos ao mesmo tempo.
Passo 3
Como
tem
elementos e
tem
elementos, e não há elementos repetidos entre eles (porque são disjuntos), quando a gente junta os dois conjuntos na união
, cada elemento de
continua lá, cada elemento de
também entra na união, e não tem duplicatas para contar.
Passo 4
Para ser mais claro, podemos contar quantos elementos tem na união. Como
tem
e
tem
, e nenhum elemento aparece nos dois, a quantidade total de elementos na união é simplesmente a soma dos elementos de
e de
. Ou seja:
Passo 5
Substituindo os valores que a gente tem:
Resposta
Então, concluímos que
tem exatamente
elementos.
Exercícios relacionados
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
(i)
(ii)
(i)
(ii)
Identifique a curva definida pela função vetorial
Seja
um conjunto, denotemos com
o conjunto onde seus elementos são todos os subconjuntos de
.
(a) Seja determine os 8 elementos de
.
(b) Mostre usando indução que, se
tem
elementos então
tem
elementos.
(a) Seja
(b)