Sejam e dois conjuntos finitos disjuntos de e elementos respectivamente, mostre que tem elementos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois conjuntos finitos, e , que são disjuntos (isso quer dizer que não têm nenhum elemento em comum). O conjunto tem elementos e o tem elementos. A gente precisa mostrar que a união desses dois conjuntos, , tem exatamente elementos. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como o que significa união de conjuntos e o conceito de conjuntos disjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a união de dois conjuntos. A união é um conjunto que contém todos os elementos que estão em ou em , ou em ambos. Mas, como e são disjuntos, isso significa que não tem nenhum elemento que esteja nos dois conjuntos ao mesmo tempo.

Passo 3

Como tem elementos e tem elementos, e não há elementos repetidos entre eles (porque são disjuntos), quando a gente junta os dois conjuntos na união , cada elemento de continua lá, cada elemento de também entra na união, e não tem duplicatas para contar.

Passo 4

Para ser mais claro, podemos contar quantos elementos tem na união. Como tem e tem , e nenhum elemento aparece nos dois, a quantidade total de elementos na união é simplesmente a soma dos elementos de e de . Ou seja:

Passo 5

Substituindo os valores que a gente tem:

Resposta

Então, concluímos que tem exatamente elementos.

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Use o principio da boa ordenação em para mostrar o seguinte resultado: para dois números com tem-se que, ou é múltiplo de , ou existem com tal que . Seguidamente, prove que e são únicos nesta última igualdade.
(b) Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
(i)
(ii)
Identifique a curva definida pela função vetorial
Seja um conjunto, denotemos com o conjunto onde seus elementos são todos os subconjuntos de .
(a) Seja determine os 8 elementos de .
(b) Mostre usando indução que, se tem elementos então tem elementos.