b) Use o polinômio do item(a) para achar a soma: onde e
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a soma dos quadrados dos múltiplos de 3, ou seja, . Esse tipo de problema está dentro da matéria de Álgebra, especificamente envolvendo somas de série e polinômios. Para resolver, vamos precisar utilizar a fórmula da soma dos quadrados dos termos de uma sequência aritmética.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada termo da soma pode ser representado como , onde varia de 1 até . Então, a soma que queremos calcular é:
Passo 3
Vamos expandir o quadrado dentro da soma:
Isso porque .
Passo 4
Agora, podemos fatorar o 9 da soma:
Então, a soma original fica multiplicada por 9.
Passo 5
Precisamos agora calcular . Sabemos que a fórmula para a soma dos quadrados dos primeiros números naturais é:
Passo 6
Substituindo essa fórmula na nossa expressão anterior:
Passo 7
Podemos simplificar essa expressão dividindo 9 por 6:
Então, a expressão fica:
Passo 8
Portanto, a soma dos quadrados dos múltiplos de 3 até é: