b) Use o polinômio do item(a) para achar a soma: onde e

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a soma dos quadrados dos múltiplos de 3, ou seja, . Esse tipo de problema está dentro da matéria de Álgebra, especificamente envolvendo somas de série e polinômios. Para resolver, vamos precisar utilizar a fórmula da soma dos quadrados dos termos de uma sequência aritmética.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada termo da soma pode ser representado como , onde varia de 1 até . Então, a soma que queremos calcular é:

Passo 3

Vamos expandir o quadrado dentro da soma:
Isso porque .

Passo 4

Agora, podemos fatorar o 9 da soma:
Então, a soma original fica multiplicada por 9.

Passo 5

Precisamos agora calcular . Sabemos que a fórmula para a soma dos quadrados dos primeiros números naturais é:

Passo 6

Substituindo essa fórmula na nossa expressão anterior:

Passo 7

Podemos simplificar essa expressão dividindo 9 por 6:
Então, a expressão fica:

Passo 8

Portanto, a soma dos quadrados dos múltiplos de 3 até é:

Resposta

A soma é igual a .

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