Use algum critério para discutir a redutibilidade ou irredutibilidade: d) Determine todos os valores de n para os quais x^2 + 2 divide x^5 - 10 x + 12 em Z_n[x]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois polinômios em :
Queremos descobrir para quais valores de o primeiro polinômio divide o segundo. Isso envolve conceitos de aritmética modular e divisão de polinômios.

Passo 2

Para que divida em , o resto da divisão desses polinômios deve ser zero. Vamos usar o Teorema do Resto, que diz que o resto da divisão de por é onde é uma raiz de .

Passo 3

Primeiro, encontramos as raízes de em . Resolvendo , temos:

Passo 4

Agora, calculamos para cada raiz encontrada. Se para todas as raízes, então divide .

Passo 5

Vamos testar diferentes valores de . Suponhamos que seja primo para simplificar. Consideramos valores de que satisfazem e verificamos se .

Passo 6

Após testar vários valores de , encontramos que para e , a divisão funciona, ou seja, divide em .

Resposta

Os valores de para os quais divide em são e .

Exercícios relacionados