Use algum critério para discutir a redutibilidade ou irredutibilidade: d) Determine todos os valores de n para os quais divide em Z_n[x]
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois polinômios em :
Queremos descobrir para quais valores de o primeiro polinômio divide o segundo. Isso envolve conceitos de aritmética modular e divisão de polinômios.
Passo 2
Para que divida em , o resto da divisão desses polinômios deve ser zero. Vamos usar o Teorema do Resto, que diz que o resto da divisão de por é onde é uma raiz de .
Passo 3
Primeiro, encontramos as raízes de em . Resolvendo , temos:
Passo 4
Agora, calculamos para cada raiz encontrada. Se para todas as raízes, então divide .
Passo 5
Vamos testar diferentes valores de . Suponhamos que seja primo para simplificar. Consideramos valores de que satisfazem e verificamos se .
Passo 6
Após testar vários valores de , encontramos que para e , a divisão funciona, ou seja, divide em .