Determine se as seguintes séries convergem ou divergem. sumn=1^infty cos ^2 nn^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty cos^2 nn^3/2 converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, especificamente o Teste da Comparação. Precisaremos comparar nossa série com outra que sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: cos^2 nn^3/2. Sabemos que o cosseno ao quadrado, cos^2 n, sempre está entre 0 e 1 para qualquer valor de n. Ou seja, temos:
0 <= cos^2 n <= 1

Passo 3

Como cos^2 n <= 1, podemos substituir na expressão original:
cos^2 nn^3/2 <= 1n^3/2
Isso significa que cada termo da nossa série original é menor ou igual ao correspondente termo da série sumn=1^infty 1n^3/2.

Passo 4

Agora, vamos analisar a série de comparação: sumn=1^infty 1n^3/2. Essa é uma série p, onde p = 32. Sabemos que uma série p converge se p > 1. Como 32 > 1, a série sumn=1^infty 1n^3/2 converge.

Passo 5

De volta à nossa série original, já que cada termo cos^2 nn^3/2 é menor ou igual a um termo da série que converge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty cos^2 nn^3/2 converge.

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