Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, especificamente o Teste da Comparação. Precisaremos comparar nossa série com outra que sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: . Sabemos que o cosseno ao quadrado, , sempre está entre 0 e 1 para qualquer valor de . Ou seja, temos:

Passo 3

Como , podemos substituir na expressão original:
Isso significa que cada termo da nossa série original é menor ou igual ao correspondente termo da série .

Passo 4

Agora, vamos analisar a série de comparação: . Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , a série converge.

Passo 5

De volta à nossa série original, já que cada termo é menor ou igual a um termo da série que converge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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