Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, especificamente o Teste da Comparação. Precisaremos comparar nossa série com outra que sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Sabemos que o cosseno ao quadrado,
, sempre está entre 0 e 1 para qualquer valor de
. Ou seja, temos:
Passo 3
Como
, podemos substituir na expressão original:
Isso significa que cada termo da nossa série original é menor ou igual ao correspondente termo da série
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a série de comparação:
. Essa é uma série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
. Como
, a série
converge.
Passo 5
De volta à nossa série original, já que cada termo
é menor ou igual a um termo da série que converge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
b) Use o polinômio do item(a) para achar a soma:
onde
e
a) Determine todas as raízes de
em
c) Prove que
é um ideal de
.
Utilize o algoritmo de Briot-Ruffini para decrever
como um produto de fatores lineares e ou quadráticos em
] d)