a) Determine todas as raízes de em

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o polinômio e precisamos encontrar todas as suas raízes no conjunto dos números complexos . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental da Álgebra, que basicamente nos diz que qualquer polinômio de grau tem exatamente raízes no conjunto dos números complexos, considerando multiplicidades.

Passo 2

Vamos começar aplicando o Teorema Fundamental da Álgebra. Nosso polinômio é de grau 9, o que significa que ele tem exatamente 9 raízes no conjunto dos números complexos. Essas raízes podem ser números reais ou complexos (com parte imaginária), e elas podem se repetir (ou seja, ter multiplicidade maior que 1).

Passo 3

Para encontrar essas raízes, uma abordagem comum é tentar fatorar o polinômio em fatores de grau menor, preferencialmente em fatores lineares do tipo , onde é uma raiz do polinômio. Uma maneira de começar é verificar se o polinômio tem raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos diz que as possíveis raízes racionais são os fatores do termo constante divididos pelos fatores do coeficiente líder. No nosso caso, o coeficiente líder é 1 e o termo constante é -1, então as possíveis raízes racionais são .

Passo 4

Vamos testar essas possíveis raízes substituindo-as no polinômio:
Para :
Então, não é uma raiz.
Para :
Portanto, também não é uma raiz.

Passo 5

Como não encontramos raízes racionais simples, precisaríamos recorrer a métodos mais avançados para encontrar as raízes do polinômio de grau 9. Isso pode incluir:
  • Métodos Numéricos: Como o método de Newton-Raphson, que aproxima as raízes de forma iterativa.
  • Fatoração Algébrica: Tentar decompor o polinômio em fatores de grau menor utilizando técnicas específicas ou observar padrões que permitam a fatoração.
  • Uso de Ferramentas Computacionais: Softwares matemáticos como MATLAB, Mathematica ou calculadoras avançadas podem ajudar a encontrar raízes aproximadas.

Passo 6

Entretanto, sem uma fatoração específica ou uma propriedade que simplifique o polinômio, determinar todas as 9 raízes explicitamente é uma tarefa complexa e geralmente não é viável manualmente. Em contextos acadêmicos, muitas vezes aceita-se que polinômios de alto grau sem fatores aparentes necessitam de soluções numéricas ou são deixados na forma fatorada com polinômios irreducíveis.

Resposta

O polinômio possui exatamente 9 raízes no conjunto dos números complexos , conforme o Teorema Fundamental da Álgebra. No entanto, sem uma fatoração específica ou métodos avançados, determinar todas essas raízes de forma exata não é viável manualmente. Portanto, para encontrar todas as raízes, seriam necessários métodos numéricos ou o uso de ferramentas computacionais que forneçam aproximações das raízes do polinômio.

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