c) Prove que <x> = {x * p(x) ; p(x) em K[x]} é um ideal de K[x].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o conjunto é um ideal no anel . Aqui estamos trabalhando com Álgebra, especificamente com Ideais em Anéis de Polinômios. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é um ideal e quais são as propriedades que ele deve satisfazer dentro de um anel.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal. Em um anel , um subconjunto é chamado de ideal se:
  1. é um subanel de , ou seja, é não vazio, fechado em adição e fechado sob multiplicação por elementos de .
  2. Para todo e , tanto quanto estão em .
Como estamos trabalhando com , que é um anel comutativo (a multiplicação é comutativa), basta verificar que satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se é um subanel de :
  • Não vazio: Claramente, está em , então não é vazio.
  • Fechado em adição: Se temos dois elementos e em , então sua soma é , que também está em porque .
  • Fechado sob multiplicação: Se pegarmos um elemento em e multiplicarmos por qualquer , temos , que está em .

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição para ser um ideal:
Para todo e , queremos que esteja em .
Sabemos que para algum . Então,
que está na forma vezes algum polinômio em , ou seja, está em .

Passo 5

Como satisfaz todas as condições para ser um ideal em , podemos concluir que realmente é um ideal de .

Resposta

Concluímos que é de fato um ideal no anel .

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