c) Prove que
é um ideal de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o conjunto
é um ideal no anel
. Aqui estamos trabalhando com Álgebra, especificamente com Ideais em Anéis de Polinômios. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é um ideal e quais são as propriedades que ele deve satisfazer dentro de um anel.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal. Em um anel
, um subconjunto
é chamado de ideal se:
-
é um subanel de , ou seja, é não vazio, fechado em adição e fechado sob multiplicação por elementos de . - Para todo
e , tanto quanto estão em .
Como estamos trabalhando com
, que é um anel comutativo (a multiplicação é comutativa), basta verificar que
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se
é um subanel de
:
- Não vazio: Claramente,
está em , então não é vazio. - Fechado em adição: Se temos dois elementos
e em , então sua soma é , que também está em porque . - Fechado sob multiplicação: Se pegarmos um elemento
em e multiplicarmos por qualquer , temos , que está em .
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição para ser um ideal:
Para todo
e
, queremos que
esteja em
.
Sabemos que
para algum
. Então,
que está na forma
vezes algum polinômio em
, ou seja, está em
.
Passo 5
Como
satisfaz todas as condições para ser um ideal em
, podemos concluir que realmente
é um ideal de
.
Resposta
Concluímos que
é de fato um ideal no anel
.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
b) Use o polinômio do item(a) para achar a soma:
onde
e
Utilize o algoritmo de Briot-Ruffini para decrever
como um produto de fatores lineares e ou quadráticos em
] d)
Integre a equação de
, sabendo que em
.
Construa em gráfico de
quando
,
. O tempo é dado em segundos.
Resp.:
Resp.: